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「2017 山东一轮集训 Day6」子序列

作者:互联网

复盘 \(\color{black}{\text{c}}\color{red}{\text{yx}}\) 讲的题,我是不会告诉你我不知道他网名的。

这可以来一手反复鞭尸(

Description

区间本质不同子序列,母串长度 \(n\) ,询问 \(q\) 次,字符集大小 \(|\sum|\) 。

\(n,\ q\leq 10 ^ 5,\ |\sum| \leq 9\)

Analysis

本来还有一个区间本质不同子串,但显然这俩都不是一个类型的(

显然子序列和子串都不是一个量级的,肯定又要用到压缩状态的好手:

DP。

我们可以考虑只枚举最后一位是什么,我们可以考虑在前面 \(i\) 个里面任选,结尾是 \(j\) 的数量,令为 \(f_{i, j}\) ,同时令结尾 \(m+1\) 的地方什么都没有填。

所以对于结尾不是 \(j\) 的地方,都只能继承上一个位置的答案,反之,则任何位置都能转移下来。

而且这不会算重:

假如存在形如 “STS” 的形式,当后面的 “S” 完成了拼接的之后,前面的 “S” 可以视作拼接成了 “S__S” 的样子,并没有重,反而正好不漏。

DP 转移如下:

\[ f_{i, j} = \left\{ \begin{array}{ll} f_{i - 1, j}&,j \neq S_i \\ \sum_{k = 1} ^ {m + 1} f_{i - 1, k}&,j = S_i \end{array} \right. \]

最终答案就是:\(\sum_{k = 1} ^ m f_{n, k}\) 。

那我们就得到了 \(O(qnm)\) 的憨憨做法。

sol0

/*
 
*/
#include 
using namespace std;

#define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout);
#define Check(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".ans", "w", stdout);

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef std::pair<int, int=""> pii;
#define fi first
#define se second
#define mp std::make_pair

const int mod = 1e9 + 7;
template 
inline int M(A x) {return x;}
template 
inline int M(A x, B ... args) {return 1ll * x * M(args...) % mod;}

#define mi(x) (x >= mod) && (x -= mod)
#define ad(x) (x < 0) && (x += mod)

const int N = 1e5 + 10;

int n, q, f[N][10], su[N][10];
char s[N];

int main() {
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);

	std::cin >> (s + 1) >> q; n = strlen(s + 1);

	for (int i = 1, l, r; i <= q; ++i) {
		std::cin >> l >> r;

		for (int k = 0; k < 9; ++k) {
			f[l - 1][k] = su[l - 1][k] = 0;
		}
		f[l - 1][9] = su[l - 1][9] = 1;
		for (int j = l; j <= r; ++j) {
			for (int k = 0; k < 10; ++k) {
				if (k == s[j] - 'a') {
					f[j][k] = su[j - 1][9];
				}
				else f[j][k] = f[j - 1][k];

				if (!k) su[j][k] = f[j][k];
				else su[j][k] = su[j][k - 1] + f[j][k];
				mi(su[j][k]);
			}
		}

		std::cout << su[r][9] - 1 << "\n";
	}

	return 0;
}


Sol1

发现转移比较单一,考虑能不能矩阵预处理一下。

因为不等于是对应位直接转移,等于至整体转移,所以就是对角线全是 1 以及其中一行全是 1 :

\[A_i = \left( \begin{array}{l} 1\ \ 0\ \ 0\ \ 0\ \ 0 \\ 1\ \ 1\ \ 1\ \ 1\ \ 1 \\ 0\ \ 0\ \ 1\ \ 0\ \ 0 \\ 0\ \ 0\ \ 0\ \ 1\ \ 0 \\ 0\ \ 0\ \ 0\ \ 0\ \ 1 \end{array} \right) \]

这样的话答案就会形如一段 \(A\) 的乘积,因为矩阵乘法没有交换律,所以除了前缀积,还要维护后缀积(逆矩阵)。

那无论是预处理还是查询就都是 \(O(m ^ 3)\) 的了。总体下来就是 \(O\Big((n + q) m ^ 3\Big)\) 。

Sol1

/*
 
*/
#include 
using namespace std;

#define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout);
#define Check(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".ans", "w", stdout);

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef std::pair<int, int=""> pii;
#define fi first
#define se second
#define mp std::make_pair

const int mod = 1e9 + 7;
template 
inline int M(A x) {return x;}
template 
inline int M(A x, B ... args) {return 1ll * x * M(args...) % mod;}

#define mi(x) (x >= mod) && (x -= mod)
#define ad(x) (x < 0) && (x += mod)

const int N = 1e5 + 10;

int n, q;
char s[N];

struct matrix {
	int a[10][10];
	matrix() {memset(a, 0, sizeof(a));}

	inline void init() {for (int i = 0; i < 10; ++i) a[i][i] = 1;}

	matrix operator * (const matrix &it) const {
		matrix t;
		for (int i = 0; i < 10; ++i) {
			for (int k = 0; k < 10; ++k) {
				if (!a[i][k]) continue;
				for (int j = 0; j < 10; ++j) {
					t.a[i][j] += M(a[i][k], it.a[k][j]);
					mi(t.a[i][j]);
				}
			}
		}
		return t;
	}
} pre[N], suf[N];

inline void init() {
	pre[0].init(); suf[0].init();

	for (int i = 1, c; i <= n; ++i) {
		c = s[i] - 'a';
		
		for (int j = 0; j < 10; ++j) {
			suf[i].a[c][j] = 1;
			pre[i].a[c][j] = mod - 1;
		}

		pre[i].init(); suf[i].init();
	}

	for (int i = 2; i <= n; ++i) {
		pre[i] = pre[i - 1] * pre[i];
		suf[i] = suf[i] * suf[i - 1];
	}
}

int main() {
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);

	std::cin >> (s + 1) >> q; n = strlen(s + 1);
	init();
	for (int i = 1, l, r; i <= q; ++i) {
		std::cin >> l >> r;

		matrix res = suf[r] * pre[l - 1];
		int ans = 0;
		for (int j = 0; j < 10; ++j) {
			ans += res.a[j][9]; mi(ans);
		}

		std::cout << ans - 1 << "\n";
	}

	return 0;
}


Sol2

一下子写了太多,先咕咕咕啦(

标签:std,10,Day6,int,freopen,2017,mod,集训,define
来源: https://www.cnblogs.com/Illusory-dimes/p/16475339.html