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UVA 1614 - Hell on the Markets 数学题 非贪心

作者:互联网

题意: 给定一个数组长度n,n<=100000,随后给出这个正整数数组A,A的第i项满足1<=Ai<=i,求另外一个仅有1和-1构成的数组B,使得A与B对应每一项乘积再求和为0。多解任意解。

 

实际上网络上说的排序之后再贪心什么的,根本就没有必要,而且也不是这一道题目的关键点所在。也就是说实际上做法是O(n)的,而不是O(nlgn)的

下面来阐释这道题目的证明

约定:定义函数Sum(i)表示数组A从第一项到第i项之和,这里所有数组默认下标从1开始。

定理1:对于任意的S ∈ [1, Sum(n)] 总能在A中选择某些项使其和为S

    证明:当n=1时,显然成立

               假设当n=k时成立,此时题目变为:在长度的k的A数组后附加A(k+1),1<=A(k+1)<=k+1,要求证明对于任意的S∈[1,Sum(k+1)],总能从A中选择某些项使其和为S

               当S ∈ [1, Sum(k)]时,利用归纳假设直接得到

               当S ∈ [Sum(k)+1, Sum(k+1)]时,S可以写成Sum(k+1)-p,p是某个数。利用S的范围求得p的范围为 0<=p<=A(k+1)-1。由于A(k+1)<=k+1,因此p<=k,由于Sum(k)>=k,因此p∈[1,Sum(k)]。利用归纳假设从前k项中选择某些项使其值为p,将这些项从A中剔除,剩下的和即为S。

 

第一步证明了存在性,接下来说明做法如何取到S:

找到某项t,使得Sum(t)<S<=Sum(t+1),按照定理1得此时前t+1项一定存在一种解法使其和为S,且此时显然A(t+1)是必取项。因为前t项加起来都没有S大。此时选择第t+1项同时删除其后所有项,令S减去A(t+1)之后继续此过程即可。

一个小细节:假若找到某项S有Sum(t)==S,按照算法,此时将会继续再往前走一步选择t-1项。但是假若t此时为1,算法会在下一步就终止,因此最后特判一下第一项是否为S。

 

写了一大堆,这题实际上就是在S=Sum(n)/2下的特例。假若Sum(n)/2为奇数,那么无解,Sum(n)为偶数,则可以选择出Sum(n)/2使其加减为0。最后一个具体的小细节就是求前缀和的话,n的范围会超过int。

 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define int long long

using namespace std;
const int maxm=100100;

int n,arr[maxm],sum[maxm],tmp;
bool ans[maxm];

signed main(){
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    while(cin>>n){
        for(int i=1;i<=n;++i){
            cin>>arr[i];
            sum[i]=arr[i]+sum[i-1];
        }
        if(sum[n]&1||n==1){
            cout<<"No\n";
            continue;
        }
        tmp=sum[n]>>1;
        for(int i=n-1;i;--i)
        if(tmp<=sum[i+1]&&tmp>sum[i]){
            tmp-=arr[i+1];
            ans[i+1]=true;
        }
        if(tmp)
            ans[1]=true;
        cout<<"Yes\n";
        for(int i=1;i<n;++i)
            cout<<(ans[i]?1:-1)<<' ';
        cout<<(ans[n]?1:-1)<<"\n";
        memset(ans+1,0,sizeof(bool)*n);
    }
    return 0;
}

最后特别感谢Gee Law 在 https://www.zhihu.com/question/315946573 给出的做法。

标签:arr,int,1614,maxm,sum,UVA,Hell,include,Sum
来源: https://blog.csdn.net/Good_night_Sion_/article/details/88615440