后缀数组

​ 最近学习了后缀数组，第一次写标程的时候还是很痛苦的，最后还是用一种比较易懂的方法写完了标程。

声明

• 后缀：表示从一个字符串的一个字符开始往后的字符构成的字符串
• \(sa_i\)：表示排名为\(i\)后缀的开始位置是\(S_{sa_i}\)
• \(rk_i\)：表示以\(S_{sa_i}\)为开头的后缀的排名
• \(h_i\)是表示以\(S_{sa_i}\)和\(S_{sa_{i-1}}\)为开头的字符串的最长公共字串的长度

方法

后缀数组的求法

算法思路

我们的目标是得出\(rk\)或\(sa\)数组中任意一个就可以求出另外一个因为我们有一个很明显的性质。

\[rk[sa[i]]=sa[rk[i]]=i \]

我们有两种方法可以求出这个数组但由于本人太弱了只会用倍增法求。

如图我们可以每一次用双关键字的基数排序便可以求出来，由于倍增是\(\Theta(\log n)\)的，每次排序是\(\Theta(n)\)的所以总的时间复杂度是\(\Theta(n\log n)\)在大步分提目是够用的了，而且\(CD3\)常数较大，有些情况下甚至不如倍增的方法。

code

//tot是基数排序的辅助数组
//eh是每次基数排序的第二关键字
//tn是每次基数排序的第一关键字
void work(){
    for(int i=0;i<n;i++)tot[r[i]]=1;
    for(int i=1;i<M;i++)tot[i]+=tot[i-1];
    for(int i=0;i<n;i++)rk[i]=tot[r[i]]-1;
    for(int l=1;l<n;l<<=1){//倍增
        for(int i=0;i<n-l;i++)eh[i]=rk[i+l]+1;
        for(int i=n-l;i<n;i++)eh[i]=0;
        for(int i=0;i<n;i++)tn[i]=rk[i]+1;//求出第一二关键字
        for(int i=0;i<=n;i++)tot[i]=0;
        for(int i=0;i<n;i++)tot[eh[i]]++;
        for(int i=1;i<=n;i++)tot[i]+=tot[i-1];
        for(int i=n-1;~i;i--)rk[i]=--tot[eh[i]];//按第二关键字排序
        for(int i=0;i<n;i++)sa[rk[i]]=i;
        for(int i=0;i<=n;i++)tot[i]=0;
        for(int i=0;i<n;i++)tot[tn[i]]++;
        for(int i=1;i<=n;i++)tot[i]+=tot[i-1];
        for(int i=n-1;~i;i--)
        rk[sa[i]]=--tot[tn[sa[i]]];//按第一关键字排序
        for(int i=0;i<n;i++)sa[rk[i]]=i;
        for(int i=1,cnt=0;i<n;i++)
        if(eh[sa[i]]==eh[sa[i-1]]&&tn[sa[i]]==tn[sa[i-1]])
        rk[sa[i]]=cnt;else rk[sa[i]]=++cnt;//去重，除最后一次没有必要去重以外每次操作完都需要去重，方便起见每次进行去重
        for(int i=0;i<n;i++)sa[rk[i]]=i;//算出每次的sa数组
    }
    return;
}

公共字串数组求法

算法思路

我们令\(h_i\)表示，以\(sa_{i-1}\)和\(sa_i\)为开头的最长公共前缀，我们有如下性质。

若\(rk_j<rk_k\)则，以\(rk_j\)和\(rk_k\)为开头的后缀的最长公共前缀长度为

\[\min_{i=rk_j+1}^{rk_k}h_i \]

我们知道\(h\)数组会有这样一个性质

\[h_{rk_i}\ge h_{rk_{i-1}}-1 \]

这样我们在\(\Theta(n)\)的时间内便可求出\(h\)数组

code

void makeh(){
    for(int i=0,k=0,j;i<n;h[rk[i++]]=k)if(rk[i])
    for(k?k--:0,j=sa[rk[i]-1];r[i+k]==r[j+k];k++);
}

标签：后缀,基数排序,数组,Theta,sa,rk
来源： https://www.cnblogs.com/dzrblog/p/16471453.html