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1027 取数游戏2 线性DP

2022-07-10 16:06:20 作者：互联网

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/14701
来源：牛客网

题目描述

给定两个长度为n的整数列A和B，每次你可以从A数列的左端或右端取走一个数。假设第i次取走的数为a_x，则第i次取走的数的价值v_i=b_i⋅a_x，现在希望你求出∑v_i的最大值。

输入描述:

第一行一个数T，表示有T组数据。
对于每组数据，第一行一个整数n，
接下来两行分别给出A数列与B数列。

输出描述:

每一组数据输出一行，最大的∑v

。

示例1

输入

复制

输出

复制

2001
52

说明

对于第二个样例，
第一次从左边取走a1，v1=a1⋅b1=1,
第二次从左边取走a2，v2=a2⋅b2=6,
第三次从右边取走a5，v3=a5⋅b3=12,
第四次从右边取走a4，v4=a4⋅b4=8,
第五次取走剩下的a3，v5=a3⋅b5=25。
总价值∑vi=1+6+12+8+25=52

备注:

T≤10 1≤n≤10³ 1≤a_i,b_i≤10³

分析

线性DP

随着选择的数增多，选择左边的数会增多，选择右边的数也会增多，设变量f[k][i][j] 为总共选择了k个数，左边选择了i个数，右边选择了j个数的最大权值

状态转移方程：

1.选择左边：f[k][i][j] = max(f[k-1][i][j],f[k-1][i-1][j] + a[i] * b[i+j])

2.选择右边：f[k][i][j] = max(f[k-1][i][j],f[k-1][i][j-1] + a[n-j+1] * b[i+j])

由于k对表达式结果并没有影响，省去一维

//-------------------------代码----------------------------

//#define int LL
const int N = 1100;
int n,m;
int a[N],b[N];
int f[N][N];

void solve()
{
cin>>n;
memset(f,0,sizeof f);
fo(i,1,n) cin>>a[i];
fo(i,1,n) cin>>b[i];
fo(i,1,n) {
f[i][0] = f[i-1][0] + a[i] * b[i];
f[0][i] = f[0][i-1] + a[n-i+1] * b[i];
}
int ans = 0;
fo(i,1,n) {
fo(j,1,n) {
f[i][j] = max(f[i-1][j] + a[i] * b[i + j], f[i][j-1] + a[n-j+1] * b[i+j]);
if(i + j == n) ans = max(ans,f[i][j]);
}
}
cout<<ans<<endl;
}

signed main(){
clapping();TLE;

int t;cin>>t;while(t -- )
solve();
// {solve(); }
return 0;
}

-------------------------------------------------------------分界线----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

分析

如果把删除数的过程倒过来看，就变成增加数的过程，这时候从小区间到大区间的区间DP思路就很直观了

设f[i][j] 表示的是取区间[i,j] 的最大取值，区间大小是j - i + 1，从1逐渐变大到n

状态转移：f[i][j] = max(f[i+1][j] + a[i] * b[n-k+1],f[i][j-1] + a[j] * b[n-k+1]);k表示的是区间大小

//-------------------------代码----------------------------

#define int LL
const int N = 1100;
int n,m;
int a[N],b[N];
int f[N][N];

void solve()
{
cin>>n;
memset(f,0,sizeof f);
fo(i,1,n) cin>>a[i];
fo(i,1,n) cin>>b[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;i+j-1<=n;j++)
{
int k=i+j-1;
f[j][k]=max(f[j][k],max(f[j][k-1]+a[k]*b[n-i+1],f[j+1][k]+a[j]*b[n-i+1]));
}
}
cout<<f[1][n]<<endl;
}

signed main(){
clapping();TLE;

int t;cin>>t;while(t -- )
solve();
// {solve(); }
return 0;
}

/*样例区

//------------------------------------------------------------