13_跳表

二分查找底层依赖的是数组随机访问的特性，所以只能用数组来实现。

今天就是对链表稍加改造，使链表也支持类似二分的查找算法，这种改造后的链表结构叫做跳表（skip list）。

Redis中的有序集合（Sorted set）就是用跳表来实现的。

跳表的结构

原始链表结构： 

跳表的结构：

那怎么来提高查找效率呢？如果像图中那样，对链表建立一级“索引”，查找起来是不是就会更快一些呢？每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽出来的那一级叫做索引或索引层。你可以看我画的图。图中的down表示down指针，指向下一级结点。

这种链表加多级索引的结构，就是跳表。

跳表查询的时间复杂度

单链表中查询某个数据的时间复杂度是O(n)。那在一个具有多级索引的跳表中，查询某个数据的时间复杂度是多少呢？

按照我们刚才讲的，每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是n/2，第二级索引的结点个数大约就是n/4，第三级索引的结点个数大约就是n/8，依次类推，也就是说，第k级索引的结点个数是第k-1级索引的结点个数的1/2，那第k级索引结点的个数就是n/(2k)。

假设索引有h级，最高级的索引有2个结点。通过上面的公式，我们可以得到n/(2h)=2，从而求得h=log2n-1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是log2n。我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历m个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是O(m*logn)。

那这个m的值是多少呢？按照前面这种索引结构，我们每一级索引都最多只需要遍历3个结点，也就是说m=3，为什么是3呢？

假设我们要查找的数据是x，在第k级索引中，我们遍历到y结点之后，发现x大于y，小于后面的结点z，所以我们通过y的down指针，从第k级索引下降到第k-1级索引。在第k-1级索引中，y和z之间只有3个结点（包含y和z），所以，我们在K-1级索引中最多只需要遍历3个结点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历3个结点。

通过上面的分析，我们得到m=3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是O(logn)。

跳表是否很浪费内存

比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，肯定要消耗更多的存储空间。那到底需要消耗多少额外的存储空间呢？

跳表的空间复杂度分析并不难，我在前面说了，假设原始链表大小为n，那第一级索引大约有n/2个结点，第二级索引大约有n/4个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下2个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。

这几级索引的结点总和就是n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以，跳表的空间复杂度是O(n)。

我们前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引，如果我们每三个结点或五个结点，抽一个结点到上级索引，是不是就不用那么多索引结点了呢？

从图中可以看出，第一级索引需要大约n/3个结点，第二级索引需要大约n/9个结点。每往上一级，索引结点个数都除以3。为了方便计算，我们假设最高一级的索引结点个数是1。我们把每级索引的结点个数都写下来，也是一个等比数列。

通过等比数列求和公式，总的索引结点大约就是n/3+n/9+n/27+...+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少了一半的索引结点存储空间。

实际上，在软件开发中，我们不必太在意索引占用的额外空间。在讲数据结构和算法时，我们习惯性地把要处理的数据看成整数，但是在实际的软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。

跳表的插入与删除

时间复杂度O(logn)。

跳表索引动态更新

当我们不停地往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某2个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。

当我们往跳表中插入数据的时候，我们可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。如何选择加入哪些索引层呢？

我们通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值K，那我们就将这个结点添加到第一级到第K级这K级索引中。

随机函数的选择很有讲究，从概率上来讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能过度退化。至于随机函数的选择，我就不展开讲解了。如果你感兴趣的话，可以看看我在GitHub上的代码或者Redis中关于有序集合的跳表实现。

 

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来源： https://www.cnblogs.com/l12138h/p/16436754.html