题解 CF1073G Yet Another LCP Problem
作者：互联网
题解 CF1073G Yet Another LCP Problem
题意描述
定义\(LCP(S_i,S_j)\)为字符串\(S\)的后缀\(i\)和后缀\(j\)的最长公共前缀长度。
给定一个长为\(n\)的字符串\(S\)，\(q\)次询问，每次询问给出两个正整数集合\(A,B\)，大小分别为\(k,l\)，求\(\sum\limits_{i\in A,j\in B}LCP(S_i,S_j)\)
\(\sum\limits_{i=1}^{q}k_i,\sum\limits_{i=1}^{q}l_i\leq2\times10^5\)
Solution：
看到单字符串和\(LCP\)，马上想到后缀树，用\(SAM\)建出后缀树后，\(LCP(S_i,S_j)\)就是后缀树上的\(Dep_{LCA(S_i,S_j)}\)。
现在看到数据范围：\(\sum\limits_{i=1}^{q}k_i,\sum\limits_{i=1}^{q}l_i\leq2\times10^5\)，直接明示虚树。考虑怎样\(DP\)，有一个经典的树上统计每条边的经过次数问题，答案是\(\sum\limits_{(u,v)\in E}Size_v\times(n-Size_v)\)。现在转化成\(LCA\)的数量，考虑容斥，设\(Size_{u,0/1}\)表示u的子树中在\(A/B\)集合中的点数，一个节点子树内的答案就是每个儿子\(v\)中\(A\)集合内的点数乘其它儿子中\(B\)集合内的点数，再加上这个节点上的\(A\)集合内的点数乘子树中\(B\)集合内的点数，最后乘上深度。即
\[\sum\limits_{u=1}^{n}[(\sum\limits_{v\in Son(u)}Size_{v,0}\times\sum\limits_{w\in Son(u),w\not= v}Size_{w,1})+(Size_{u,0}-\sum\limits_{v\in Son(u)}Size_{v,0})\times Size_{u,1}]\times Dep_u \]代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 400005
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define mid ((l+r)>>1)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define il inline
#define file(x) freopen(x".in","r",stdin);freopen(x".out","w",stdout);
using namespace std;
il int read(){
int w=0,h=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')h=-h;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){w=w*10+ch-'0';ch=getchar();}
return w*h;
}
struct Edge{
int next,to;
}edge[N<<2];
char S[N];
int n,q,rev[N];
int head[N],num;
void add(int u,int v){
edge[++num].next=head[u];
edge[num].to=v;head[u]=num;
}
namespace SAM{
struct Node{
int len,link,ch[26];
}t[N];
int tot=1,cur=1;
void extend(char c){
int p=c-'a',u=++tot;
t[u].len=t[cur].len+1;
swap(u,cur);
while(u&&!t[u].ch[p])t[u].ch[p]=cur,u=t[u].link;
if(!u)return t[cur].link=1,void();
int v=t[u].ch[p];
if(t[v].len==t[u].len+1)return t[cur].link=v,void();
int w=++tot;
t[w].len=t[u].len+1;
t[w].link=t[v].link;
t[v].link=t[cur].link=w;
for(int i=0;i<26;i++)t[w].ch[i]=t[v].ch[i];
while(u&&t[u].ch[p]==v)t[u].ch[p]=w,u=t[u].link;
}
void build(){
int u=1;
for(int i=n;i>=1;i--){
u=t[u].ch[S[i]-'a'];
rev[i]=u;
}
for(int i=2;i<=tot;i++)add(t[i].link,i);
}
}
namespace Tree{
struct Node{
int dep,fa,sz,son,seg,top,bot;
}t[N];
int dfn;
void dfs1(int u,int fa){
t[u].dep=t[fa].dep+1;
t[u].fa=fa;t[u].sz=1;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to;
if(v==fa)continue;
dfs1(v,u);
t[u].sz+=t[v].sz;
if(t[v].sz>t[t[u].son].sz)t[u].son=v;
}
}
void dfs2(int u,int topf){
t[u].top=topf;
t[u].seg=++dfn;
if(t[u].son)dfs2(t[u].son,topf);
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to;
if(v==t[u].fa||v==t[u].son)continue;
dfs2(v,v);
}
t[u].bot=dfn;
}
int LCA(int x,int y){
int fx=t[x].top,fy=t[y].top;
while(fx!=fy){
if(t[fx].dep<t[fy].dep)swap(fx,fy),swap(x,y);
x=t[fx].fa;fx=t[x].top;
}
if(t[x].dep>t[y].dep)swap(x,y);
return x;
}
}
namespace VirTree{
vector<int>vir,G[N];
int stk[N],top;
int sum[N][2];
int ans;
bool cmp(int x,int y){return Tree::t[x].seg<Tree::t[y].seg;}
void build(){
sort(vir.begin(),vir.end(),cmp);
for(int i=vir.size()-2;~i;i--)vir.pb(Tree::LCA(vir[i],vir[i+1]));
sort(vir.begin(),vir.end(),cmp);
vir.erase(unique(vir.begin(),vir.end()),vir.end());
top=0;
for(auto u:vir){
while(top&&Tree::t[stk[top]].bot<Tree::t[u].seg)top--;
if(top)G[stk[top]].pb(u);
stk[++top]=u;
}
}
void clear(){
for(auto u:vir)G[u].clear(),sum[u][0]=sum[u][1]=0;
vir.clear();ans=0;
}
void dfs(int u){
int tmp=sum[u][0];
for(auto v:G[u]){
dfs(v);
sum[u][0]+=sum[v][0];
sum[u][1]+=sum[v][1];
}
for(auto v:G[u])ans+=sum[v][0]*(sum[u][1]-sum[v][1])*SAM::t[u].len;
ans+=tmp*sum[u][1]*SAM::t[u].len;
}
}
signed main(){
n=read();q=read();
scanf("%s",S+1);
for(int i=n;i>=1;i--)SAM::extend(S[i]);
SAM::build();
Tree::dfs1(1,0);
Tree::dfs2(1,1);
while(q--){
int kl=read(),kr=read();
for(int i=1,u;i<=kl;i++)
VirTree::vir.pb(u=rev[read()]),VirTree::sum[u][0]++;
for(int i=1,u;i<=kr;i++)
VirTree::vir.pb(u=rev[read()]),VirTree::sum[u][1]++;
VirTree::build();
VirTree::dfs(VirTree::stk[1]);
printf("%lld\n",VirTree::ans);
VirTree::clear();
}
return 0;
}
还没完，这题还有另一个做法：
看到\(\sum\)和\(LCA\)，马上想到[GXOI/GZOI2019]旧词的套路，将\(A\)集合中的点到根的路径区间\(+1\)，然后区间查询\(B\)集合中的点到根的路径上权的和。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 400005
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define mid ((l+r)>>1)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define il inline
#define file(x) freopen(x".in","r",stdin);freopen(x".out","w",stdout);
using namespace std;
il int read(){
int w=0,h=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')h=-h;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){w=w*10+ch-'0';ch=getchar();}
return w*h;
}
struct Edge{
int next,to;
}edge[N<<2];
char S[N];
int n,q,rev[N],pos[N];
int kl,A[N],kr,B[N],ans;
int head[N],num;
void add(int u,int v){
edge[++num].next=head[u];
edge[num].to=v;head[u]=num;
}
namespace SAM{
struct Node{
int len,link,ch[26];
}t[N];
int tot=1,cur=1;
void extend(char c){
int p=c-'a',u=++tot;
t[u].len=t[cur].len+1;
swap(u,cur);
while(u&&!t[u].ch[p])t[u].ch[p]=cur,u=t[u].link;
if(!u)return t[cur].link=1,void();
int v=t[u].ch[p];
if(t[v].len==t[u].len+1)return t[cur].link=v,void();
int w=++tot;
t[w].len=t[u].len+1;
t[w].link=t[v].link;
t[v].link=t[cur].link=w;
for(int i=0;i<26;i++)t[w].ch[i]=t[v].ch[i];
while(u&&t[u].ch[p]==v)t[u].ch[p]=w,u=t[u].link;
}
void build(){
int u=1;
for(int i=n;i>=1;i--){
u=t[u].ch[S[i]-'a'];
rev[i]=u;
}
for(int i=2;i<=tot;i++)add(t[i].link,i);
}
}
namespace SGT{
int Sum[N<<2],Val[N<<2],Tag[N<<2],Clr[N<<2];
void pushup(int k){Sum[k]=Sum[ls]+Sum[rs];}
void pushdown(int k,int l,int r){
if(Clr[k]){
Sum[ls]=Sum[rs]=0;
Tag[ls]=Tag[rs]=0;
Clr[ls]=Clr[rs]=1;
Clr[k]=0;
}
if(!Tag[k])return;
Sum[ls]=Sum[ls]+Tag[k]*Val[ls];
Sum[rs]=Sum[rs]+Tag[k]*Val[rs];
Tag[ls]+=Tag[k];
Tag[rs]+=Tag[k];
Tag[k]=0;
}
void build(int k,int l,int r){
if(l==r){
Val[k]=pos[l];
return;
}
build(ls,l,mid);
build(rs,mid+1,r);
Val[k]=Val[ls]+Val[rs];
}
void modify(int k,int l,int r,int x,int y){
if(l>y||r<x||l>r||x>y)return;
if(l>=x&&r<=y){
Sum[k]+=Val[k];
Tag[k]+=1;
return;
}
pushdown(k,l,r);
if(x<=mid)modify(ls,l,mid,x,y);
if(mid<y)modify(rs,mid+1,r,x,y);
pushup(k);
}
int query(int k,int l,int r,int x,int y){
if(l>y||r<x||l>r||x>y)return 0;
if(l>=x&&r<=y)return Sum[k];
pushdown(k,l,r);
if(y<=mid)return query(ls,l,mid,x,y);
if(mid<x)return query(rs,mid+1,r,x,y);
return query(ls,l,mid,x,y)+query(rs,mid+1,r,x,y);
}
}
namespace Tree{
struct Node{
int dep,fa,sz,son,seg,top,bot;
}t[N];
int dfn;
void dfs1(int u,int fa){
t[u].dep=t[fa].dep+1;
t[u].fa=fa;t[u].sz=1;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to;
if(v==fa)continue;
dfs1(v,u);
t[u].sz+=t[v].sz;
if(t[v].sz>t[t[u].son].sz)t[u].son=v;
}
}
void dfs2(int u,int topf){
t[u].top=topf;
t[u].seg=++dfn;
pos[dfn]=SAM::t[u].len-SAM::t[t[u].fa].len;
if(t[u].son)dfs2(t[u].son,topf);
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to;
if(v==t[u].fa||v==t[u].son)continue;
dfs2(v,v);
}
t[u].bot=dfn;
}
int LCA(int x,int y){
int fx=t[x].top,fy=t[y].top;
while(fx!=fy){
if(t[fx].dep<t[fy].dep)swap(fx,fy),swap(x,y);
x=t[fx].fa;fx=t[x].top;
}
if(t[x].dep>t[y].dep)swap(x,y);
return x;
}
void ask_modify(int x,int y){
int fx=t[x].top,fy=t[y].top;
while(fx!=fy){
if(t[fx].dep<t[fy].dep)swap(fx,fy),swap(x,y);
SGT::modify(1,1,SAM::tot,t[fx].seg,t[x].seg);
x=t[fx].fa;fx=t[x].top;
}
if(t[x].dep>t[y].dep)swap(x,y);
SGT::modify(1,1,SAM::tot,t[x].seg,t[y].seg);
}
int ask_query(int x,int y){
int fx=t[x].top,fy=t[y].top,res=0;
while(fx!=fy){
if(t[fx].dep<t[fy].dep)swap(fx,fy),swap(x,y);
res+=SGT::query(1,1,SAM::tot,t[fx].seg,t[x].seg);
x=t[fx].fa;fx=t[x].top;
}
if(t[x].dep>t[y].dep)swap(x,y);
res+=SGT::query(1,1,SAM::tot,t[x].seg,t[y].seg);
return res;
}
}
void solve(){
for(int i=1;i<=kl;i++)
Tree::ask_modify(1,A[i]);
for(int i=1;i<=kr;i++)
ans+=Tree::ask_query(1,B[i]);
}
signed main(){
n=read();q=read();
scanf("%s",S+1);
for(int i=n;i>=1;i--)SAM::extend(S[i]);
SAM::build();
Tree::dfs1(1,0);
Tree::dfs2(1,1);
SGT::build(1,1,SAM::tot);
while(q--){
kl=read(),kr=read();
for(int i=1;i<=kl;i++)A[i]=rev[read()];
for(int i=1;i<=kr;i++)B[i]=rev[read()];
SGT::Clr[1]=1;
SGT::Sum[1]=SGT::Tag[1]=ans=0;
solve();
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
一些细节：
1.\(SAM\)建后缀树要从后往前插入。
2.第二种做法中，一个节点的贡献并不是深度，而是它在\(SAM\)中的对应位置的\(len\)
3.来自pidan血的教训：第二种做法挂两个\(log\)，跑得极慢，要卡卡常。
标签：ch,CF1073G,LCP,int,题解,sum,SAM,fx,define 来源： https://www.cnblogs.com/pidan123/p/15505514.html