题目描述

火车从始发站（称为第\(1\)站）开出，在始发站上车的人数为\(a\)，然后到达第\(2\)站，在第\(2\)站有人上、下车，但上、下车的人数相同，因此在第\(2\)站开出时（即在到达第\(3\)站之前）车上的人数保持为\(a\)人。从第\(3\)站起（包括第\(3\)站）上、下车的人数有一定规律：上车的人数都是前两站上车人数之和，而下车人数等于上一站上车人数，一直到终点站的前一站（第\(n-1\)站），都满足此规律。现给出的条件是：共有\(N\)个车站，始发站上车的人数为\(a\)，最后一站下车的人数是\(m\)（全部下车）。试问\(x\)站开出时车上的人数是多少？

输入格式

\(a\)(≤20)，\(n\)(≤20)，\(m\)(≤2000)，和\(x\)(≤20)，

输出格式

从\(x\)站开出时车上的人数。

输入输出样例

输入 #1 复制

5 7 32 4

输出 #1 复制

13

思路

直接先列个表来找找规律。

数据	1	2	3	4	5	6	7
上车人数	a	b	a+b	a+2b	2a+3b	3a+5b	5a+8b
下车人数	0	b	b	a+b	a+2b	2a+3b	3a+5b
开始时车内人数	a	a	2a	2a+b	3a+2b	4a+4b	6a+7b
这样可能还是找不到规律。我们把a,b换掉，用它们的系数表示。
数据	1	2	3	4	5	6	7
:--	--	--	--	--	--	--	--
上车人数	1	1	1+1	1+2	2+3	3+5	5+8
下车人数	0	1	1	1+1	1+2	2+3	3+5
开始时车内人数	1	1	2	2+1	3+2	4+4	6+7
这还不够明显吗。
数据	1	2	3	4	5	6	7
:--	--	--	--	--	--	--	--
上车人数	1	1	2	3	5	8	13
下车人数	0	1	1	2	3	5	8
开始时车内人数	1	1	2	3	5	8	13

斐波那契数列！！

那么，我们用\(f\)数组来计算斐波那契数列。

\(f[1]=1;f[2]=1;f[3]=2;f[4]=3;f[5]=5;f[6]=8...\)

看表可知：

1. 第 \(i\) 站的上车人数\(=f[i-2]\times a+f[i-1]\times b\) （\(i\ge 2\) )
2. 第 \(i\) 站的下车人数\(=f[i-3]\times a+f[i-2]\times b\) （\(i\ge 3\) )
3. 第 \(i\) 站的开始时车内人数

\(=\)\(\sum_{k=1}^{i}\)(第\(k\)站上车人数\(-\)第\(k\)站下车人数)（可以抵消）

\(=\)第\(i\)站上车人数\(+a-b\)

\(=f[i-2]\times a+f[i-1]\times b+a-b\)

\(=(f[i-2]+1)\times a+(f[i-1]-1)\times b\)（\(i\geq 2\) )

所以，我们只要一步一步推下来，推到\(n\)，再根据\(m\)和\(a\)算出\(b\)，再求出第\(x\)站开始时的人数就可以了。
注意：题中的\(m\)应该是第\(n\)站开始时的人数

以下是样例：

数据	1	2	3	4	5	6	7
上车人数	5	b	5+b	5+2b	10+3b	15+5b	0
下车人数	0	b	b	5+b	5+2b	10+3b	32
开始时车内人数	5	5	10	10+b	15+2b	20+4b	32

也就是 第六站开始时的人数 \(=m\)

即 \((f[i-2]+1)\times a+(f[i-1]-1)\times b=m\)

所以 \(b=\frac {m-(f[i-2]+1)\times a } { f[i-1]-1 }=\frac {32-(3+1)\times 5}{5-1}=3\) 。

那么 第\(4\)站开始时的人数

\(=\)第\(i\)站上车人数\(+a-b\)

\(=(f[i-2]+1)\times a+(f[i-1]-1)\times b\)

\(=(f[2]+1)\times a+(f[3]-1)\times b\)

\(=(1+1)\times 5+(2-1)\times 3\)

\(=13\)

不就了事了吗

我感觉讲的够详细了。

最后，特判一下 \(x=1\) 时的情况，直接输出 \(a\) 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
int f[25]={0,1,1};
int n,m,a,b,x;
int main(){    
	scanf("%d%d%d%d",&a,&n,&m,&x);
    for(int i=3;i<=n;i++)
	    f[i]=f[i-1]+f[i-2];
    b=(m-f[n-1-2]*a-a)/(f[n-1-1]-1);//是第(n-1)个点的开始为m，套用公式
    if(x==1)//特判
	    printf("%d",a);
    else
	    printf("%d",(f[x-2]+1)*a+(f[x-1]-1)*b);//套公式
    return 0;
}

谢谢--zhengjun

标签：洛谷,下车,--,题解,times,2b,上车,人数
来源： https://www.cnblogs.com/A-zjzj/p/16364291.html