2022高考全国卷|三角函数题难在哪里了

前言

真题剖析

【2022年高考理科数学全国卷第17题】记 \(\triangle ABC\) 的内角 \(A\)， \(B\)， \(C\) 的对边分别为 \(a\)， \(b\)， \(c\), 已知 \(\sin C\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\).

(1). 证明: \(2a^{2}=b^{2}+c^{2}\)；

证明： 由于 \(\sin C\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\)此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要，此时我们既可能将 \(\sin(A-B)\) 和 \(\sin(C-A)\) 打开，也可能做替换 \(\sin C=\sin(A+B)\)， \(\sin B=\sin(C+A)\)，前者暂时看不清变形方向，但后者替换后由于呈现出对称的特点，我们大约能看到展开后可能有平方差公式的应用。更多体验，请参阅三角变换的方向总结，

则有 \(\sin(A+B)\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin(C+A)\sin(C-A)\).

打开，得到 \((\sin A\cos B+\cos A\sin B)(\sin A\cos B-\cos A\sin B)\)

\(=\)\((\sin C\cos A+\cos C\sin A)(\sin C\cos A-\cos C\sin A)\)，

整理得到，\(\sin^2A\cos^2B-\cos^2A\sin^2B=\sin^2C\cos^2A-\cos^2C\sin^2A\)，

移项整理，\(\sin^2A(\cos^2B+\cos^2C)=\cos^2A(\sin^2B+\sin^2C)\)，

即 \(\sin^2A(\cos^2B+\cos^2C)-(1-\sin^2A)(\sin^2B+\sin^2C)=0\)，

即 \(\sin^2A()\)

(2). 若 \(a=5\)， \(\cos A=\cfrac{25}{31}\)， 求 \(\triangle ABC\) 的周长。

【2022年高考文科数学全国卷第17题】记 \(\triangle ABC\) 的内角 \(A\)， \(B\)， \(C\) 的对边分别为 \(a\)， \(b\)， \(c\), 已知 \(\sin C\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\).

(1). 若 \(A=2B\)，求 \(C\)；

(2). 证明: \(2a^{2}=b^{2}+c^{2}\)；

标签：cos,ABC,2B,三角函数,题难,2A,2022,2C,sin
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