排列组合
作者：互联网
多重集
- 对于一个集合 \(S=\{n_1\times a_1,n_2\times a_2,...,n_k\times a_k\}\) ，意思就是由 \(n_i\) 个 \(a_i\) 组成
多重集组合数1
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求选 \(r\) 个方案数，满足 \(n_i\leq r\)
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答案显然就是 \(\binom{r+k-1}{k-1}\)
多重集组合数2
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求选 \(r\) 个方案数，不一定满足 \(n_i\leq r\)
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这个没办法直接求，那么就需要容斥
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那么我们现在要求 不符合条件的数，这个可以通过容斥原理求
不相邻的排列
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在 \(n\) 个数中选 \(k\) 个不相邻的数
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显然答案就是 \(\binom{n-k+1}{k}\)
错位排列
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考虑两种情况
- 前 \(n-1\) 全部装错
- 前 \(n-1\) 有一个没有装错
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其实也可以看成是第 \(n\) 个数和自己对应的数如果换回来后，前 \(n-1\) 个数要么仍然都是错的，要么有 1 个是对的
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那么 \(f(n)=(n-1)f(n-1)+f(n-2)\)
圆排列
- \(Q_n=\frac{A_n}{n}\)
组合数性质|二项式推论
\[\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m} \]\[\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1} \]\[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1} \]\[\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{n}=2^n \]\[\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}=[n=0] \]\[\sum_{i=0}^m \binom{n}{i} \binom{m}{m-i}=\binom{m+n}{m} \]\[\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}^2=\binom{2n}{n} \]\[\sum_{i=0}^n i\binom{n}{i}=n2^{n-1} \]\[\sum_{i=0}^n i^2\binom{n}{i}=n(n+1)2^{n-2} \]\[\sum_{l=0}^n\binom{l}{k}=\binom{n+1}{k+1} \]\[\binom{n}{r}\binom{r}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{r-k} \]\[\sum_{i=0}^n\binom{n-i}{i}=F_{n+1} \]\(F\) 是斐波那契数列
标签：个数,sum,多重集,times,装错,排列组合,binom 来源： https://www.cnblogs.com/kzos/p/16341362.html