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[LNOI2022] 题

作者:互联网

题意:

建议看原题面,抽象文字会严谨很多。
给长为\(3*n\)的字符串s,每个位置值为\([0,3]\),如果为\(0\)的话,你构造字符串\(t\),即把\(0\)替换为\([1,3]\)。如果\(t\)中每三个配对(前提是为排列,且按编号从前往后的逆序对奇数),问配出的\(n\)对的方案数,方案不同当且仅当\(t\)不同或者任意两对三个值对应下标有一个不同。

思路:

感觉自己没有创造力,\(n<=19\)以为是状压,结果是\(o(n^7)\)摩天轮大dp。
逆序对奇数,即\(132,213,321\)三种情况。
我一开始是把问题拆看看的,先构造\(t\),再看对应方案数。其实发现这种\(?\)填充问题+dp的话,都会直接在决策转移\(?\)时考虑选择,且存在同一个状态里。
该题正确的解读方式:分组(匹配)的方案数。
发现一组大小\(3\)其实很小,如果再小一点,是\(2\)呢?
一组大小为\(2\),组中第一个加入时,加入状态。
如果大小为\(3\),同理存第一个元素状态,(可更新前两个元素状态)因此存前两个状态,因此也可以转移第三个填入。
这道题的状态就出来了:
\(dp[i][x][y][z][o][p][q]\):表到\(t\)前\(i\)位,组内只有\(1\)个数\(x\),\(2\)个数为\(y\),\(3\)个数为\(z\),组内只有\(32\)个数为\(o\),组内只有\(13\)个数为\(p\),组内只有\(21\)个数为\(q\)。
结果为\(dp[3n][0][0][0][0][0][0]*n!\)
因为每一种\(n\)个组方案的其实是按最后一个元素的下标有序的。所以\(n\)个组,可打乱顺序,要乘\(n!\)。
转移就:组内已填大小:\(0-1/1->2/2->3\)
注意乘系数(可加入组的方案数),还有第一维\(3*n\)会暴要滚掉!
具体方程可见code.

code:

点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=20;
int n,dp[2][N][N][N][N][N][N];
char ch[N*3];
void DP(bool cur,bool lst,int opt) {
	if(opt==1) {
		for(int x=0;x<=n;x++) for(int y=0,up=n-x;y<=up;y++) for(int z=0,up=n-x-y;z<=up;z++) {
			for(int o=0,up=n-x-y-z;o<=up;o++) for(int p=0,up=n-x-y-z-o;p<=up;p++) for(int q=0,up=n-x-y-z-o-p;q<=up;q++) {
				if(x)dp[cur][x][y][z][o][p][q]=(dp[cur][x][y][z][o][p][q]+dp[lst][x-1][y][z][o][p][q])%mod;
				if(y<n&&q)dp[cur][x][y][z][o][p][q]=(dp[cur][x][y][z][o][p][q]+1ll*dp[lst][x][y+1][z][o][p][q-1]*(y+1))%mod;
				if(o<n)dp[cur][x][y][z][o][p][q]=(dp[cur][x][y][z][o][p][q]+1ll*dp[lst][x][y][z][o+1][p][q]*(o+1))%mod;
			}
		}
	}
	else if(opt==2) {
		for(int x=0;x<=n;x++) for(int y=0,up=n-x;y<=up;y++) for(int z=0,up=n-x-y;z<=up;z++) {
			for(int o=0,up=n-x-y-z;o<=up;o++) for(int p=0,up=n-x-y-z-o;p<=up;p++) for(int q=0,up=n-x-y-z-o-p;q<=up;q++) {
				if(y)dp[cur][x][y][z][o][p][q]=(dp[cur][x][y][z][o][p][q]+dp[lst][x][y-1][z][o][p][q])%mod;
				if(z<n&&o)dp[cur][x][y][z][o][p][q]=(dp[cur][x][y][z][o][p][q]+1ll*dp[lst][x][y][z+1][o-1][p][q]*(z+1))%mod;
				if(p<n)dp[cur][x][y][z][o][p][q]=(dp[cur][x][y][z][o][p][q]+1ll*dp[lst][x][y][z][o][p+1][q]*(p+1))%mod;
			}
		}
	}
	else {
		for(int x=0;x<=n;x++) for(int y=0,up=n-x;y<=up;y++) for(int z=0,up=n-x-y;z<=up;z++) {
			for(int o=0,up=n-x-y-z;o<=up;o++) for(int p=0,up=n-x-y-z-o;p<=up;p++) for(int q=0,up=n-x-y-z-o-p;q<=up;q++) {
				if(z)dp[cur][x][y][z][o][p][q]=(dp[cur][x][y][z][o][p][q]+dp[lst][x][y][z-1][o][p][q])%mod;
				if(x<n&&p)dp[cur][x][y][z][o][p][q]=(dp[cur][x][y][z][o][p][q]+1ll*dp[lst][x+1][y][z][o][p-1][q]*(x+1))%mod;
				if(q<n)dp[cur][x][y][z][o][p][q]=(dp[cur][x][y][z][o][p][q]+1ll*dp[lst][x][y][z][o][p][q+1]*(q+1))%mod;
			}
		}
	}
}
void Clear(int opt) {
	for(int x=0;x<=n;x++) for(int y=0,up=n-x;y<=up;y++) for(int z=0,up=n-x-y;z<=up;z++) {
		for(int o=0,up=n-x-y-z;o<=up;o++) for(int p=0,up=n-x-y-z-o;p<=up;p++) for(int q=0,up=n-x-y-z-o-p;q<=up;q++) {
			dp[opt][x][y][z][o][p][q]=0;
		}
	}
}
int main() {
	int T;scanf("%d",&T);
	while(T--) {
		scanf("%d",&n);
		scanf("%s",ch);
		dp[0][0][0][0][0][0][0]=1;
		ll ans=1;
		for(int i=1;i<=3*n;i++) {
			bool cur=i&1,lst=cur^1;
//			printf("i=%d(cur=%d)::~~~\n",i,cur);
			if(ch[i-1]=='1') {DP(cur,lst,1);}
			else if(ch[i-1]=='2') {DP(cur,lst,2);}
			else if(ch[i-1]=='3') {DP(cur,lst,3);}
			else {
				DP(cur,lst,1),DP(cur,lst,2),DP(cur,lst,3);
			}
			Clear(lst);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)ans=ans*i%mod;
		printf("%lld\n",ans*dp[(n*3)&1][0][0][0][0][0][0]%mod);
		Clear(n&1); 
	} 
	return 0;
}

标签:LNOI2022,方案,状态,int,组内,个数,dp
来源: https://www.cnblogs.com/bestime/p/16335382.html