2022.6 写题记录

P7581 「RdOI R2」路径权值(distance)

考虑离线询问，挂到节点上，然后从下往上维护答案.

首先对于每个节点 \(u\) 预处理一个路径权值前缀和 \(\mathrm{val}[u]\)，那么两个点的距离就是 \(\mathrm{val}[u]+\mathrm{val}[v]-2\ \mathrm{val}[\mathrm{LCA}(u,v)]\).

对于当前子树的每个深度 \(k\) 维护一个 \(\mathrm{sum}_k\) 表示 \(\sum_{\mathrm{dep}[u]=k}\mathrm{val}[u]\)， \(\mathrm{cnt}_k\) 表示深度为 \(k\) 的节点数量，\(\mathrm{ans}_k\) 表示答案.

合并两棵子树 \(u,v\) 时，设他们的父亲为 \(w\) 两棵子树内部的答案已经统计过了，所以只需要加上经过 \(w\) 的路径的答案就好.

左子树的一个深度为 \(k\) 可以和右子树任意一个深度为 \(k\) 的节点构成一条路径，所以它贡献了 \(v.\mathrm{cnt}_k\) 次，右子树中的节点同样.

注意要减去 \(w\) 的贡献.

\[w.\mathrm{ans}_k=u.\mathrm{ans}_k+v.\mathrm{ans}_k+(u.\mathrm{sum}_k-u.\mathrm{cnt}_k\times \mathrm{val}[w])\times v.\mathrm{cnt}_k+(v.\mathrm{sum}_k-v.\mathrm{cnt}_k\times \mathrm{val}[w])\times u.\mathrm{cnt}_k. \]

可以以深度 \(k\) 作为键值，用线段树合并维护.询问 \(u\) 时在线段树上查询 \(\mathrm{ans}_{\mathrm{dep}[u]+k}\) 就好。

时间复杂度 \(O((n+q)\log n)\).

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