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[转载]《更好的解释（数学篇）》——第五章

作者：互联网

本文章转载自《更好的解释（数学篇）》——第五章 - 飲水思源 - A man, a plan, a canal, Panama. (is-programmer.com)

《更好的解释（数学篇）》——第五章

λ posted @ 2011年9月18日 03:42 in Mixture with tags mathematics tutorial BetterExplained , 10659 阅读

轉載自 Gosin 的博客，點擊此處查看原文。

虛數

虛數這個概念經常讓我感到困惑。就像是理解e一樣，許多解釋基本上都可以歸為這兩類：

  • 這是一種數學抽象，這是方程式產生的結果，隻管接受它就行了。
  • 這個將用在高級物理中，相信我們吧，等你到了大學你就明白了。

專家們，這真是一種激勵孩子們積極好學的方法啊！今天就讓我們用我麼最喜歡的工具來攻克它吧：

  • 關註其中的關係，而不是機械化的方程式。
  • 把復數當作我們原有數字系統的升級版，就像0，十進制和負數那樣。
  • 使用可視化的圖表，而不隻是文字，來理解這個概念。

還有我們的秘密武器：通過類比來進行學習。我們通過對比它的先輩，負數，來進行學習。以下就是你的指南書：

看起來好像沒什麼意義，但是先把它放一邊。到最後我們將先抓到它，然後再攻克它，而不是反之。

5.1 真正的理解負數

負數並不簡單。假設你是18世紀的一名歐洲數學家。你有3和4，你知道4-3＝1。很簡單。

但是3－4呢？這，到底，意味著什麼呢？你怎麼能從3頭奶牛中拿走4頭？你怎們能擁有比空無一物更少的東西呢？

負數被認為是荒謬的，甚至被認為“導致整個數學都黯淡無光”（Francis Maseres，1759年）。但是在今天，認為負數符合邏輯或者是有用的並不荒謬。試著問問你的老師負數是否毀壞了數學的根基。

到底發生了什麼呢？我們引入了一種有著一些有用性質的理論數字。我們摸不到，也抓不住負數，但是它很好的描述了一些確定的關係（比如債務）。這是一個很有用的虛構。

相比說“我欠你30元”，然後看看文字確認到底是你欠我還是我欠你，我可以直接寫下“-30”，這樣我就知道是我欠你了。如果我賺到了錢，還請了債務（-30+100＝70），我可以很容易的記錄這筆交易。我還剩下70元，這意味著我已經沒有負債了。

正負標記可以自動的幫我們記錄方向——你不要一一判斷每筆交易。數學可以讓這更簡單，更優雅。負數是“有形還是無形”其實無所謂——它們有著一些有 用的性質，直到它們真正進入我們的生活我們才把它們發揮的淋漓盡致。如果你沒有“得到”負數的話，你就會背上惡名（obscene name，應該是指美國的信用卡消費文化——譯者註）。

但是我們不應自以為是：負數是一次智力的大飛躍。即使是歐拉，那位發現了e以及其他東西的天才數學家，也不像我們今天這樣瞭解負數。負數被認為是“沒有意義”的結果（最後他也隨大流接受了這樣的結果）。

這隻是一個簡單的證明，告訴我們今天的孩子們的智力應該可以更容易接受這些觀點，即使這些觀點曾經讓很多數學前輩們很是困惑。

5.2 進入虛數的世界

虛數也有一個類似的故事。我們可以很輕易的解出以下方程：

x2 ＝9

答案是3和-3。但是加入有一個聰明人加入了一個小小的負號呢：

x2 ＝－9

哦。許多人第一次見到這個方程就退縮了。你想把一個比零還小的數字開平方，這是荒謬絕倫的。

這看起來很瘋狂，就像負數，0，還有無理數（非重復數字）首次被引入時一樣瘋狂。這個方程並沒有什麼“實在”意義，對吧？

錯了。所謂的“虛數”就像其他數字一樣正常（即使它們也是被造出來的）：它們是描述世界的一種工具。就像假設-1，0.3，0“真實存在”一樣，讓我們也假設一些i存在吧：

i2 ＝－1

這就是，你把i自乘兩次就得到-1.接下來會發生什麼呢？

首先我們會頭疼。讓我們玩個“假裝i存在”的游戲吧，這樣可以讓數學更簡單，更優雅。這樣其中的關係就可以很容易的浮現出來了。

你或許不相信i的存在，就像那些老前輩們不相信-1的存在一樣。現在是一個新的讓我們難以理解的概念，現在還看不出有什麼意義，即使是歐拉也沒有。但是正如負數告訴我們的，怪異的概念一樣可以有用。

我不喜歡“想像出來的數”這種稱呼——這是一種設計好的侮辱，誹謗，故意傷害i的感情。i就像其他數字一樣正常，但是“虛數”這個名字既然一直沿用下來了，我們隻好繼續使用。

5.3 以一種可視化的方法理解負數與復數

方程式x2 ＝9也可以表示成：

1·x2 ＝9

x應該是什麼，使得它自乘兩次後，1變成了9？

兩個答案就是“x＝3”與“x＝-3”：這就是，你“乘以3”或者“乘以3，然後翻轉”（翻轉或取反是乘以負數的另一種解釋）。

接下來讓我們考慮以下x2 ＝-1，這其實就是：

1·x2 ＝-1

x應該是什麼，可以使它自乘兩次後，1變為-1？

  • 我們不可能乘以一個正數，因為乘以正數以後還是正數
  • 我們不能乘以一個負數兩次，因為相乘兩次後又會變為正數。

但如果是……旋轉呢！這聽起來很瘋狂，但是如果我們假設x被“轉過了90度”，然後乘以x兩次那就是旋轉180度，也就是把1翻轉成了-1！

耶！讓我們繼續深入考慮下去，我們可以把它繞其他方向旋轉（比如說順時針方向）來從1變為-1.這就是“負向”旋轉或者是稱作乘以-i：

如果我們乘以-i兩次，我們把1變成-i，然後-i變成-1，所以-1確實存在兩個根：i與-i。

這個很酷。我們有一些答案，但是這說明了什麼呢？

  • i是一個“新的想像出來的維度”，來標記數字
  • i（或者-i）就是指數字“被旋轉”
  • 乘以i就是沿逆時針方向旋轉90度
  • 乘以-i就是沿順勢正方向旋轉90度
  • 無論那個方向，旋轉兩次就是-1：這就把我帶回到“傳統”的正負維度上去了。

數字是二維的。是的，這樣可能有些難以理解，這就像讓古羅馬人理解十進制與長除法一樣（你說1和2之間還有數字是什麼意思？）。

我們會問“怎樣通過兩步，把1變成-1”，然後我們就找到了答案：把它旋轉90度。這確實是一個奇怪但是又讓我們耳目一新的方法來理解數學。而且它很有用。（順便提一下，這種用幾何的方法解釋復數的方法直到i被發現幾十年後才被引入）

此外，逆時針為正是人們的一個約定俗成習慣——其他表示也是可以的。

5.4 發現其中的模式

讓我繼續深入細節。當我們連續乘以負數時（比如說-1），你就得到一種模式：

1，-1，1，-1，1，-1……

因為-1並不改變數的大小，隻改變符號，你就這樣的反復進行翻轉。比如說數“x”，你就會得到：

x，-x，x，-x，x，-x……

這個點子很有用。x可以代表好的或壞的髮型。假設每週都輪流變換；這周是好髮型周，那麼47周會是什麼周呢？

x·-147 ＝x·－1＝-x

那麼-x就意味著壞髮型周。註意到負數是怎樣“保持符號的軌跡的”——我們可以直接在計算器中輸入“-147 ”而不用一步一步計算（1周是好的，2周是壞的，三週是好的…………）。通過運用負數這一切隻是反復翻轉而已。

Ok。現在讓我們看看如果乘以i後會發生什麼？

1，i，i2 ，i3 ，i4 ，i5 ……

非常搞笑。讓我們化簡一下：

  • 1＝1（毫無疑問）
  • i＝i（已經很簡單了）
  • i2 ＝-1（這是i的定義）
  • i3 ＝ (i·i)·i＝-1·i＝-i（啊哈，逆時針旋轉3次＝一次旋轉，很簡單）
  • i4 ＝ (i·i)·(i·i) ＝-1·-1＝1（四次旋轉就是一個完整的圓）
  • i5 ＝ i4 · 1＝i（接下來再來一次）

用圖表示出來就是：

每四次旋轉循環一次。這就有意義了，對吧？小孩子都可以告訴你旋轉四次跟沒有旋轉一樣。與其關註虛數（i，i2 ），不如看看更一般的模式：

X，Y，-X，-Y，X，Y，-X，-Y……

就像負數一樣翻轉，虛數可以模仿任何在兩個維度之間旋轉的東西。或者是任何遵循週期或環形關係的東西——你想到些什麼了嗎？

cos與sin，如果你沒有想到的話，後面我們還會提到於這個有關的棣美弗定理（De Moivre Theorem）[編輯註：Kalid正在接受電擊治療以治療他喜愛使用雙關語]

5.5 理解復數

這裏還有另外一個細節需要揭示：一個數字可以既是“實的”又是“虛的”嗎？

確實能。誰說我們必須旋轉90度？如果我們一隻腳在實數範圍內，另一隻在虛數範圍內，就像這樣：

我們處在45度角的為止，實數部分的大小與虛數部分的大小相當（1+i）。這就像一個熱狗既有芥末醬也有番茄醬——誰說你隻能選一種的？

事實上，我們可以任意選取實數與虛數組成一個三角形。角度就是“旋轉的度數”。復（合）數就是給這種數字准備的一個相當完美的名字。它們寫作 a+bi，其中

  • a是實數部分
  • b是虛數部分

目前為止還不錯。但是還有最後一個問題：復數有多“大”呢？我們不能單獨測量實數部分或是虛數部分，因為我們忽略了整體。

讓我們再退回去看看。負數的大小不是指你能把它數到多少——而是它距離零點的距離。因此負數的距離就是負數的平方再開根。

這是另一種計算絕對值大小的方法。但是對於復數，我們在90度的時候我們怎麼測量兩部分？

這是隻鳥……這是飛機……這是畢達哥拉斯！

老天啊，他的理論真是到處都有，即使是在他2000年以後發明的數字中。對，我們構造一些三角形，然後斜邊就是它到零點的距離：

a+bi的大小等於a與b平方和再開根

非常幹凈。雖然計算復數的大小並不像負數那樣去掉負號就可以了，但是它有它的用處。讓我們來看一看。

5.6 示例：旋轉

我們不會等到去大學物理中學習虛數。我們現在就學學吧。關於復數相乘有很多內容，但是把這個切記於心中：

乘以一個復數就是繞著它旋轉

讓我們先來看一看。假設我在一艘小船上，船頭的指向是向東3個單位，向北四個單位。我想把船頭指向逆時針旋轉45度。新的指向朝向哪裏呢？

有些能人會說“很簡單嘛，用正余弦函數，切線Blahblah……消去變量什麼的……”真要命。對不起，我打斷你的計算了嗎？能再回答一次這個問題嗎？

讓我試一種更簡單的方法：我們的指向是3+4i（無所謂角度是什麼，我們並不關心），然後我們想旋轉45度角。那麼45度角就是1+i，那麼我們乘以它就好了！

這就是要點：

  • 原始指向：向東3個單位，向北4個單位＝3+4i
  • 逆時針旋轉45度角後的指向＝乘以1+i

如果我們把它們相乘便得到：

(3+4i)(1+i)=3+4i+3i+4i2 =3-4+7i=-1+7i

那麼我們的新指向就是向西（-1倍的向東）1個單位，向北7個單位，你可以很輕鬆的把它畫出來。

哦耶，我們花了不到10秒就把它找了出來，並且沒有使用正余弦函數。沒有向量，沒有矩陣，或者是

關心我們在哪個象限。隻是簡單的算術，涉及到一些代數與十字相乘而已。虛數天生就有旋轉規則：而且很有效。

更好的一點是，結果很有用。我們用指向（-1，7）取代了角度（arc tan（7/-1）＝98.13，記住我們在第二象限）。然而我們怎樣准確的畫出這個角度呢？一直帶著量角器嗎？

不用這樣，你可以把它們轉變成正余弦函數（-0.14與0.99），然後找出一個合適的比例（從1到7），然後畫出那個角度。復數可以以更加快速，准確的方法畫出它，而且不需要計算器。

如果你喜歡它，那麼這是一個非常棒的結果，如果你不喜歡，那麼我很抱歉，數學並沒能吸引你。

三角法是很有用，但是復數可以讓複雜的計算變得簡單（就像計算cos(a+b)那樣）。這隻是一個預告而已；下一章將給你一頓更加豐盛的大餐。

5.7 復數不是“無稽之談”

復數確實改變了我的基本觀念。現在再回頭看一看第一張圖表——你應該能理解不少東西了。

還有不少這樣漂亮、荒唐的數字，但是現在我累了。我的目標很簡單那：

  • 讓你相信復數並不是“無稽之談”，而是很有處的（就像負數那樣）
  • 復數怎樣讓一些問題更簡單，比如旋轉

如果在這個話題中看起來很激動，並且有些焦慮，那是有原因的。虛數就像一個蜜蜂一樣一直在我身邊困擾了我許多年——一直缺少一種直觀的理解讓我很沮喪。

現在我終於直到怎樣以一種更加直觀的方法理解它，我強烈希望與你分享這些觀點。我們經常被一些問題困擾著，有時隻能囫圇吞棗的接受它。這些發現就是我在黑暗中的一些小小燭光；你也會發現照亮自己的小小燭光。

還有許多復數：在下一章中學習一下復數的元算。希望你能享受到快樂的數學。

5.8 結尾：但是它們看起來還是很奇怪

我知道，我現在看它們也很奇怪。我試著把自己想像成第一個發現零的人。

零是這樣奇怪的一個概念，有些“東西”代表“什麼也沒有”，羅馬人逃避了這個概念。復數也類似——這是一種新的思考方式。無論是零還是復數都讓數學更加簡單。如果我們永遠不接納怪異的，新的數字系統，我們可能現在還在依靠手指計數呢。

我不斷的重復類比是因為這樣考慮復數很“正常”就比較容易了。讓我們保持一種開放的心態：在未來他們或許會對我們被復數所困擾而咯咯笑，即使實在二十一世紀。

 

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