D - Distinct Trio

本题主要有两种思路：

• 逆向思维，用不加限制的排列数-不符合条件的；
• 将题目转化为求\(A_{i}<A_{j}<A_{k}\)的个数。

这篇文章详解了第一种，那我就来说清楚第二种。

原题目为,给定序列

\[\text{}A= (A_1, A_2, ..., A_n) ,求满足 1 \leq i<j<k \leq N 且A_{i}\not = A_{j} \not = A_{k}的(i, j, k) 的数量 \]

官方题解

\[\text { The condition can be rephrased as follows: find the number of triplets }(i, j, k) \text { such that } A_{i}<A_{j}<A_{k}\\ \]

\[\text { Details：For a triplet }(i, j, k) \text { satisfying the original condition, there exists a unique permutation of } i, j, k \text { such that } A_{i}<A_{j}<A_{k}\\ \text { Conversely, for a triplet }(i, j, k) \text { such that } A_{i}< A_{j}<A_{k} \text {, there exists a unique permutation of } i, j, k \text { such that } i<j<k \text {. } \]

证明

不妨记

\[满足 1 \leq i<j<k \leq N 且A_{i}\not = A_{j} \not = A_{k}的(i, j, k)代表的集合为S_1,\\ 满足 A_{i}<A_{j}<A_{k}的(i, j, k)代表的集合为S_2 \\ count(S_i)表示集合S_i的元素个数 \]

我们要证两个集合的元素个数相等

只要证明

\[\begin{cases} count(S_1) \le count(S_2) &&{(1)} \\ count(S_2) \ge count(S1) &&{(2)} \end{cases} \]

即证明左边任意元素可以转换到右边，右边可以转换到左边即可。

先证(1)式。

假设存在一组数对满足\(S_1\)，那么\(i, j, k\)必然不相等，此时\(A_i, A_j, A_k\)不一定依次增大，但我们总可以通过调整三者顺序的方式，使得\(A_{i'} < A_{j'} <A_{k'}\)。

\(S_1\)中任意一组数对，都可以进行这样的转换，故(1)式成立。

再证(2)式。

方法类似，假设存在一组数对满足\(S_2\)，因为\(A_{i}<A_{j}<A_{k}\)，故\(A_{i}\not = A_{j} \not = A_{k}\)，那么\(i, j, k\)必然不相等，可以通过调整顺序，可以使得\(i< j < k\)。

\(S_2\)中任意一组数对，都可以进行这样的转换，故(2)式成立。

再证(2)式。

综上，两个集合元素个数相等。

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来源： https://www.cnblogs.com/tsrigo/p/16319826.html