其他分享
首页 > 其他分享> > D - Distinct Trio - AtCoder Beginner Contest 252

D - Distinct Trio - AtCoder Beginner Contest 252

作者:互联网

D - Distinct Trio

本题主要有两种思路:

这篇文章详解了第一种,那我就来说清楚第二种。

原题目为,给定序列

\[\text{}A= (A_1, A_2, ..., A_n) ,求满足 1 \leq i<j<k \leq N 且A_{i}\not = A_{j} \not = A_{k}的(i, j, k) 的数量 \]

官方题解

\[\text { The condition can be rephrased as follows: find the number of triplets }(i, j, k) \text { such that } A_{i}<A_{j}<A_{k}\\ \]

\[\text { Details:For a triplet }(i, j, k) \text { satisfying the original condition, there exists a unique permutation of } i, j, k \text { such that } A_{i}<A_{j}<A_{k}\\ \text { Conversely, for a triplet }(i, j, k) \text { such that } A_{i}< A_{j}<A_{k} \text {, there exists a unique permutation of } i, j, k \text { such that } i<j<k \text {. } \]

证明

不妨记

\[满足 1 \leq i<j<k \leq N 且A_{i}\not = A_{j} \not = A_{k}的(i, j, k)代表的集合为S_1,\\ 满足 A_{i}<A_{j}<A_{k}的(i, j, k)代表的集合为S_2 \\ count(S_i)表示集合S_i的元素个数 \]

我们要证两个集合的元素个数相等

只要证明

\[\begin{cases} count(S_1) \le count(S_2) &&{(1)} \\ count(S_2) \ge count(S1) &&{(2)} \end{cases} \]

即证明左边任意元素可以转换到右边,右边可以转换到左边即可。

先证(1)式。

假设存在一组数对满足\(S_1\),那么\(i, j, k\)必然不相等,此时\(A_i, A_j, A_k\)不一定依次增大,但我们总可以通过调整三者顺序的方式,使得\(A_{i'} < A_{j'} <A_{k'}\)。

\(S_1\)中任意一组数对,都可以进行这样的转换,故(1)式成立。

再证(2)式。

方法类似,假设存在一组数对满足\(S_2\),因为\(A_{i}<A_{j}<A_{k}\),故\(A_{i}\not = A_{j} \not = A_{k}\),那么\(i, j, k\)必然不相等,可以通过调整顺序,可以使得\(i< j < k\)。

\(S_2\)中任意一组数对,都可以进行这样的转换,故(2)式成立。

再证(2)式。

综上,两个集合元素个数相等。

标签:count,AtCoder,Trio,转换,一组,Beginner,text,数对,condition
来源: https://www.cnblogs.com/tsrigo/p/16319826.html