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拉格朗日动力学-学习笔记

作者:互联网

拉格朗日动力学

拉格朗日力学的推导:

单摆问题:

​ 单摆系统中,如果直接对张力,重力进行分析,可得如下关系式:

image-20220503161234926 $$ \left\{\begin{array}{l} -T \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=m \ddot{x} \\ m g-T \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=m \ddot{y} \end{array}\right. $$ ​ 在这个系统中,T无法求到,但是有存在几何约束 $x^{2}+y^{2}=l^{2}$ ,将这三个方程连立起来可以得到一个式子,但是不好求解出方程。

​ 原因就是上面两个式子都是基于牛顿第二定律的分量式,原本是各自独立,引入约束后就杂糅在一起了。

​ 当我们换一种思路,不用绝对的X,Y进行系统建模,而是引入一个角 $\theta$ :

image-20220503161954289

​ 这个时候就很好在牛顿定律下建立系统垂直方向上的平衡关系:
$$
-m g \sin \theta=m \dot{v}=m l \ddot{\theta}
$$
​ 对于一般单摆,角度较小的时候,可以近似化简后得到:
$$
\ddot{\theta}+\frac{g}{l} \theta=0
$$
​ 对于有约束力的问题,选取合适的广义坐标代替直角坐标,就可以避免约束力带来的麻烦。

虚位移问题:

在时间和空间位置确定的情况下,虚位移是符合约束条件的任意无穷小位移,用符号 [公式] 表述

​ 虚位移是为了消除约束力带来的麻烦(假设约束力不做功的前提下):

​ 在一个刚性杆系统中,存在下列约束:

[公式]

​ 对这个方程进行一次微分运算,可以得到0,所以中推出:

[公式]

​ 刚性杆对小球的作用力是等大反向的:

[公式]

[公式]

​ 根据约束方程,这个系统总虚功为0

​ 所以可以假设力学系统所受的理想约束力的总虚功为0

达朗贝尔原理

​ 对于一个系统:

[公式]

​ F为质点所受主动力,N为该质点所受理想约束力。

​ 消去约束力,对等式两边均乘虚位移 [公式], 得:

[公式]

​ 由理想约束的性质,[公式]

​ 得到:[公式]

​ 推广到多质点系统:

[公式]

​ 这个就是达朗贝尔原理。

​ 当在无约束条件下,质点之间无相互影响,所以虚位移相互独立,因此[公式]就推导出了牛顿第二定律

​ 达朗贝尔是分析力学的基本原理,并且在平衡态下,有:

[公式]

​ 这个就是虚功原理

​ 在复杂系统中,虚位移还是可能带来很大困扰,但是可以通过将其改造成可独立:

image-20220503164047299

[公式], [公式], [公式], [公式]

建立起直角坐标和广义坐标的定量关系。

这样子虚位移就可以用相互独立的广义坐标定量表示

拉格朗日方程

对于一个n个质点的力学系统,存在q个约束力

​ 在三维空间中,就有 3n 个坐标,独立坐标个数为 3n-q

[公式]

​ 转换成求和以及符号:

[公式]

​ 虚位移是不需要时间的,可以消去最后一项:

[公式]

​ 带入达朗贝尔原理,可以得到:

[公式]

​ 将求和号交换下次序,可以得到:

[公式]

​ 由于虚位移都是互相独立的,可消去外面的项

[公式]

​ 剩下的这个项,第一项是主动力,这一项保留,定义为广义力:

[公式]

​ 第二项进行化简:

​ 尽可能的从标量入手,从动能入手:

[公式]

​ 这里只存在一阶,原项中是二阶,因此要尽可能对原来二阶导进行降阶:

[公式][公式]

​ 通过引入拉格朗日关系:

[公式][公式]

​ 带入后可得

[公式][公式]

​ 为往 [公式] 去凑,整理一下符号的顺序,可得到

[公式][公式]

所以最终,就可以得到:

[公式]

将这一项回代入上面的式子:

[公式]

可根据定义的Q,得到:

[公式]

移项得到:

[公式]

这个就是一般情况下的拉格朗日方程,其中,[公式] 为体系总动能[公式]广义坐标[公式]广义速度[公式]广义力

广义动量 [公式]

当系统的主动力全是保守力的时候:

[公式]

将其带入拉格朗日方程可得:

[公式]

简化后,可得:

[公式]

[公式] (拉格朗日函数),可得保守体系下完整系统的拉格朗日方程:

[公式]

完整约束和非完整约束

​ 几何约束,顾名思义,对物体状态的约束体现在几何上,事实上我们之前提到过的约束的例子,都属于几何约束。

​ 可从达朗贝尔原理出发,经过一系列的求解、化简,最终得到了完整系统的拉格朗日方程。

在机器人中的应用

在机器人力学系统中,拉格朗日函数定义如下:

​ L(q,q˙)=K(q,q˙)−P(q)

L为拉格朗日函数

K为整个系统的动能

P为系统势能

含外力的欧拉-拉格朗日方程

标签:拉格朗,方程,系统,动力学,笔记,约束,虚位移,约束力
来源: https://www.cnblogs.com/liaozhelin/p/16290585.html