容斥原理(基本形式及其证明)

 

我们上高中的时候，都学过一种容斥原理吧，表示为以下形式：

 

|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B||A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|

 

A表示事件A发生的概率或者方案数，B同理

其实这个叫做单步容斥，因为这个仅仅有一次加减，

而在信息学领域，多见的是多步容斥，就是有很多次加加减减，形式如下

 

∣∣∣⋃i=1nSi∣∣∣=∑C⊆Mn(−1)|C|−1∣∣∣∣⋂T⊆CT∣∣∣∣|⋃i=1nSi|=∑C⊆Mn(−1)|C|−1|⋂T⊆CT|

 

这里S表示一个集合或者一个元素，M表示S的集合也就是集合的集合

C枚举的就是集合M中的所有大小为一个定值的集合，T是C中的每一个元素

左侧就是所有S的并集，也就是所有S中包含的元素总和

右侧的就表示C的每一个元素的交集，加多了的减去，减多了再加上

展开之后就是：

 

|A1∪A2∪...∪An|=∑1≤i≤n|Ai|−∑1≤i<j≤n|Ai∩Aj|+...+(−1)n−1×|A1∩A2∩...∩An||A1∪A2∪...∪An|=∑1≤i≤n|Ai|−∑1≤i<j≤n|Ai∩Aj|+...+(−1)n−1×|A1∩A2∩...∩An|

 

这个其实可以用二项式定理证明的，

设一个元素在m个集合中出现过，那么就有：

 

∑i=1m(−1)i−1(mi)=−∑i=1m(−1)i(mi)=1−∑i=0m(−1)i(mi)=1−(1−1)m=1∑i=1m(−1)i−1(mi)=−∑i=1m(−1)i(mi)=1−∑i=0m(−1)i(mi)=1−(1−1)m=1

 

这个二项式定理的应用，直接展开一下就好了，挺好推的

其实还有广义容斥原理，那个含义极其广泛

可以说，所有的反演都是广义容斥原理的一个特殊情况。。。。

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本文作者：fengwu2005

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