从数列中相邻三项的代数和求通项公式
作者：互联网
前言
请参阅：构造数列中的常见变形总结；
典例剖析
分析：用待定系数法，设 \(a_{n+2}+pa_{n+1}=k(a_{n+1}+pa_n)\)这样的设法有没有合理性，能不能这样设，是每个欲弄懂该问题的学生急于想知道的，这样是有合理性的，如果这样的设置有问题，那么最后一定会通过方程组无解的形式反应出来。同样如何合理，方程组就一定是有解的。 ，\(k，p\in R\)，
整理得到$$a_{n+2}-kp\cdot a_n=(k-p)a_{n+1}$$
比照$$a_{n+2}+2a_n=3a_{n+1}$$
得到\(kp=-2\)，\(k-p=3\)，
解得\(\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{p=-1}\end{array}\right.\)，或\(\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{p=-2}\end{array}\right.\)，
在具体题目中，我们取其中一组解即可；每一组解对于一种变形；
【法1】：当\(k=2\)，\(p=-1\)时，已知式变形为\(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)\)，
即意味着这样变形：由\(a_{n+2}+2a_n=3a_{n+1}\)，
得到\(a_{n+2}+2a_n=2a_{n+1}+a_{n+1}\)，
即\(a_{n+2}-a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_n\)，
即\(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)\)，
又\(a_2-a_1=3\neq 0\)，即数列\(\{a_{n+1}-a_n\}\)是以\(a_2-a_1=3\)为首项，以\(2\)为公比的等比数列，
则\(a_{n+1}-a_n=3\times 2^{n-1}\)，接下来求\(a_n\)，使用累加法。
过程省略，可以求得\(a_n=3\times 2^{n-1}-2(n\in N^*)\)。
【法2】：当\(k=1\)，\(p=-2\)时，已知式变形为\(a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n\)，
即意味着这样变形：由\(a_{n+2}+2a_n=3a_{n+1}\)，
得到\(a_{n+2}+2a_n=2a_{n+1}+a_{n+1}\)，
即\(a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n\)，
又\(a_2-2a_1=2\)，即数列\(\{a_{n+1}-2a_n\}\)是以\(a_2-2a_1=2\)为首项，以\(0\)为公差的等差数列，
则\(a_{n+1}-2a_n=2+(n-1)\times 0=2\)，接下来求\(a_n\)，再次使用待定系数法。
\(a_{n+1}-2a_n=2\)，得到\(a_{n+1}=2a_n+2\)，
\(a_{n+1}+2=2(a_n+2)\)，故数列\(\{a_n+2\}\)是以\(a_1+2=3\)，以\(2\)为公比的等比数列；
故\(a_n=3\times 2^{n-1}-2(n\in N^*)\)。
【法3】：方程思想，由上可知，$$a_{n+1}-a_n=3\times 2^{n-1}①，$$
\[a_{n+1}-2a_n=2② \]
联立解以\(a_{n+1}\)和\(a_n\)为元的二元一次方程组，解得\(a_n=3\times 2^{n-1}-2(n\in N^*)\)。
标签：代数和,数列,变形,求通项,times,2a,3a,array 来源： https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/16182597.html