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公钥密码学数学基础-0

2022-04-16 09:01:54 作者：互联网

今天开始，系统学习庄金成老师讲授的《公钥密码学数学基础（上）》
需要用到两个数学工具：NTL 和 sage

整数

整除

B%A=0，就是B除A没有余数，B可以被A整除，或者A整除于B，记$A|B$，B是A的倍数，A是B的除数（约数、因子）

这里整除的几何意义，举一个现实的例子"A刚好能丈量B"：

性质：

素数

素数一般我们只取正的

假设$b(b\neq 0,1)$是一个整数，除了1和自身b之外，没有其他因子，那么b就叫做不可约数（素数、质数）。

1和b叫做显然因子；其他因子叫做非显然因子（真因子）

性质

合数就是和素数相反，除了1和自身之外还有其他因子的数

（1）若a为合数，则a的最小真因子为素数

（2）素数有无穷个

定理源于《几何原本》

（3）素数的初等估计：记$p_n$是第n个素数，$\pi (x)$表示不超过x的素数个数，将全体素数按从小到大排序，有以下性质：

\[p_n \leqslant 2^{2^{n-1}},n=1,2,... \]

\[\pi(x)>log_2log_2x,x\geqslant 2 \]

素数生成

RSA加密算法中的密钥生成，需要生成两个素数：

素数检测

sage代码演示

点击查看代码

sage: 143.is_prime()     //检测143是否为素数                                                
False  

sage: P=Primes();P      //定义P是素数集合，无穷多个素数                                                      
Set of all prime numbers: 2, 3, 5, 7, ...

sage:  P.cardinality()    //返回P集合的大小，为无穷大                                                   
+Infinity

sage: P.unrank(0)        //返回P集合中的第几个素数                                                      
2
sage: P.unrank(1000)                                                            
7927

sage: P.next(100)        //返回P集合中100的下一个素数                                                       
101

sage: prime_pi(100)              //不超过100的素数个数                                               
25

其他

素数分布比较好的估计素数定理：$\pi(x)=x/lnx,x->\infty $
更精细的估计：黎曼假设
未解决的素数问题：哥德巴赫猜想，孪生素数猜想等

带余除法

设a，b是两个给定的整数且$a\neq 0$，则一定存在唯一的一对整数q和r，满足：

\[b=qa+r,0\leqslant r\leqslant |a| \]

其中r叫做b被a除后的最小非负余数

整除时，r=0；令a=7，b=12
12=17+5，5就是最小正剩余；12=27-2，-2就是最小绝对剩余

证明

CRT：

详细证明见"孙子定理"

整数分类

通过给定a，可以将r分类

给定正整数$a\geqslant 2$，$j=0,1,2,..,a-1$，对于给定的j，被a除后余数等于j的全体整数是

\[ak+j,k=0,\pm 1,\pm 2,... \]

这些整数组成的集合记$S_{a,j}$。就是下面介绍的剩余类

性质
分类$S_{a,j}$：$0\leqslant j\leqslant a-1$下：

$S_{a,j}$中任何两个不相交，即

\[S_{a,j}\cap S_{a,j'}=\O,0 \leqslant j\neq j'\neq a-1 \]

$S_{a,j}$中所有集合的并等于$Z$，即

\[\bigcup_{0\leqslant j\leq a-1}S_{a,j}=Z \]

例子：在表盘中，12个刻度代表集合的不相交

应用

（1）对于任意整数x，$x^3$被9除后所得的最小负余数是0，1，8

（2）进制表示

最大公因子和最小公倍数

参考：最大公约数&最小公倍数

公因子：
若d|a,d|b，则d是a和b的公因子。

最大公因子

若d是a和b的正公因子，对于任意的公因子d‘，有d'|a,d'|b,d'|d，则d是a和b的最大公因子，即gcd(a,b)=d。

性质：

求最大公因子的方法：
（1）辗转相除法（欧几里得算法）
（2）更相减损术（《九章算术》）

互素

若1=gcd(a,b)，则称a和b是互素的（或者叫既约的）

性质：

费马数

性质：
（1）任意两个不同的费马数互素
（2）$F_m=\prod_{i=0}^{m-1}F_i+2$

sage实验

点击查看代码

sage: def Fermat(n):  //定义费马数函数
....:     return 2^(2^n)+1 
....:                                                                           
sage: for i in range(5):   //一次返回前0-4个费马数，且判断是否为素数
....:     print(Fermat(i),Fermat(i).is_prime()) 
....:                                                                           
3 True
5 True
17 True
257 True
65537 True
sage: print(Fermat(5),Fermat(5).is_prime())    //返回第5个费马数且判断是否为素数                             
4294967297 False

举例：

以上证明来自"毕达哥拉斯"

公倍数：
若a|d,b|d，则d是a和b的公倍数。

最小公倍数

若d是a和b的一个大于0的公倍数，对于a和b的其他任意公倍数d‘，有d|d'。则d是a和b的最小公倍数。记d=[a,b]
性质：

求最小公倍数的方法：

欧几里得算法

又叫做辗转相除法，用于求最大公因子

上述算法，余数取得非负最小剩余的欧几里得算法，也可以采用绝对最小剩余（非负最小的就是非负的还是最小的哪一个；绝对最小就是绝对值最小的那一个）
非负最小剩余：
设a，b是两个整数，其中b>0，则存在两个唯一的整数q及r，使得a=bq+r，0≤r<b成立，我们把式中的q叫做a被b除得的不完全商，r叫做a被b除所得的余数，也叫做非负最小剩余。
绝对最小剩余：
设a，b是两个整数，其中b>0，则存在两个唯一的整数q及r，使得a=bq+r，-b/2≤r<b/时成立，我们把式中的q叫做a被b除得的不完全商，r叫做a被b除所得的余数，也叫做绝对最小剩余。

算法

定理

这也是一种求逆的方法

举例：

方法2，使用扩展欧几里德算法
具体：先写出前两行；第三行=第一行减去第二行的"6倍"；第四行=第二行减去第三行的"一倍"；依次继续。（注意这个倍数是怎么来的）

RSA算法分析：

问题：如何计算d使得 $ed+d'\psi(N) =1$？
方法（1）：扩展欧几里德算法
方法（2）：大衍求一术（秦九韶-《数学九章》）

RSA算法的破解：

sage实验

点击查看代码

sage: gcd(428344,4421412)    //求两个数的最大公因子                          
4
sage: xgcd(324353452314,654634253142)     //求两个数的最大公因子，并且返回最大公因子关于两个数的整系数表示                                    
(6, -6798771628, 3368606269)
sage: -6798771628*324353452314+3368606269*654634253142         //验证                 
6

求解一次不定方程

变元个数多于方程个数，且取整数值的方程（或方程组）成为不定方程（或不定方程组）
不定方程也叫做丢番图方程，研究的基本问题是：
（1）判断何时有解
（2）有解时决定解的个数
（3）求出所有的解

举例

（1）无解

（2）有解

一次不定方程

求解：

二元一次不定方程

求解：

整数的素分解

先引入素数的一个性质：

算法基本定理

算法基本定理保证了素分解的存在性和唯一性。

举例：

整数分解问题

给定正整数N，求解素因子（素因子：是素数的因子）；该问题一般情况下是计算困难的。（RSA中）

举例：

sage实验：

点击查看代码

sage: factor(123456789)      //分解123456789=3^2 * 3607 * 3803                                                 
3^2 * 3607 * 3803

推论：
推论1:

光滑性：
若正整数a的素因子都是不超过b的，则称a是b光滑的。
举例：123456789=3^2 * 3607 * 3803，称123456789是3803光滑的

推论2:

推论3:

推论4:
(a,[b,c])=[(a,b),(a,c)]

推论5:

推论6:

埃拉托色尼筛法

列出所有小于或等于正整数n的素数

代码：

点击查看代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

#define N 1000
int main()
{
    //定义两个变量i,j,一个数组a[N]
    int i, j, a[N];
    //将数组初始化为1,a[i] = 1表示i为素数
    //初始时默认从2到N-1均为素数
    for(i = 2; i < N; i++ )
    {
        a[i] = 1;
    }
    //遍历数组找出下标为素数的,并将所有下标为该素数的倍数的值改为0
    for(i = 2; i < N; i++)
    {
        if(a[i])
        {
            for(j = i; i*j < N; j++)
            {
                a[i*j] = 0;
            }
        }
    }
    //输出2~N范围内的素数
    for(i = 2; i < N; i++)
    {
        if(a[i])
        {
            printf("%4d", i);
        }
    }
    return 0;
}