2.8 Eigenvalues and Eigenvectors 阅读笔记
作者：互联网
特征值和特征向量
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Reference
- Course website: Eigenvalues and Eigenvectors | Unit II: Least Squares, Determinants and Eigenvalues | Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare
- Course video: 【完整版-麻省理工-线性代数】全34讲 配套教材_哔哩哔哩_bilibili
- Course summary: Lecture 21: Eigenvalues and eigenvectors (mit.edu)
- Extra Reading: Section 6.1 in Introduction to Linear Algebra, Fifth Edition by Gilbert Strang.
本节开始开特征值 (Eigenvalues) 和特征向量 (Eigenvectors).
Definition, Example, and Properties
如果一个非零向量 x, 经过方阵 A 的线性变换后, 满足 Ax = λx, 则 x 为方阵 A 的特征向量. 此时可能有 Ax ∥ x 为什么是可能呢??????(因为λ可能是复数)
性质: (可以简易计算特征向量)
- n 阶方阵有 n 个特征值
- 特征值的和为矩阵的迹 (对角线元素和)
- 特征值的积为矩阵的行列式
- 三角矩阵的特征值为对角线元素
举例:
- 对于奇异方阵 A, Ax = 0 有解, 因此 λ = 0 是一个特征值.
- 对于投影方阵 P
- 如果被投向量 x ∈ 平面, 则 Px = x, λ = 1
- 如果被投向量 x ⊥ 平面, 则 Px = 0, λ = 0
- 对于置换矩阵 P = \(\begin{bmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 0
\end{bmatrix}\), 代表对二维向量交换元素, 如果向量仍然平行, 只有两种情况:
- 向量两个元素相同, x = (1, 1), λ = 1
- 向量两个元素反号, x = (1, -1), λ = -1
Solve
如何求解特征值? 我们并不能直接用消元法了, 因为等式右侧也有变量. 这个应该不少人都能碰出来:
如果
\[\boldsymbol{Ax}=\lambda\boldsymbol{x} \]则有
\[(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \]如果存在非零解, 则 \(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{I}\) 奇异, 则有:
\[\det(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{I})=0 \]此时便能求出 λ 并且得到 A-λI.
这时再通过消元法求出每个特征值对应的齐次线性方程的 Special solution 非零解, 作为特征向量即可.
然后特征值和特征向量这一部分就结束了. 才怪
Example
试着求 P' = \(\begin{bmatrix} 3&1\\1&3 \end{bmatrix}\) 的特征值和特征向量, 求了半天发现特征值和上面置换矩阵 P = \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) 的特征向量一样, 对应特征值却比原来 +3 了, 为什么呢?
原来是因为 P' = P + 3I, 所以 det(P'-λ'I) = det(P-(λ'-3)I) = det(P-λI), 所以 λ'-3 = λ, 新的特征值比原来的多了 3.
所以加了几I, 特征值加几, 特征向量不变.
注意: 可能让人有个错觉, 矩阵相加特征值也相加, 因为 Ax = λx, Bx = αx, (A + B)x = (λ + α)x. 但是 Ax 和 Bx 的 x 可能不一样, 因此不成立!
Complex Eigenvalues
特征值可能是复数. 比如旋转矩阵 Q = \(\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\), 学过线性变换应该知道这个矩阵会让向量逆时针旋转 90°, 除了零向量哪个向量旋转 90° 能和自己平行呢? 这可能吗?
利用特征值的性质算特征向量. λ1+λ2=0, λ1.λ2=1 → λ=±i
定义也没说是平行啊哈哈哈. 好家伙实矩阵也能有复特征值. 这个矩阵 Q 是反对称的, 满足 QT=-Q. 给出结论实对称矩阵的特征值一定是实数.
Degenerate matrix
还有一种情况叫做退化矩阵. 比如这个三角矩阵 \(\begin{bmatrix} 3&1\\0&3 \end{bmatrix}\), 它代表对向量进行一个 shear 操作, 则 λ1 = λ2 = 3, 结果解特征向量发现:
\[\begin{bmatrix} 0&1\\0&0 \end{bmatrix}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \]解为 (1, 0), 只有 1 个独立特征向量, 也就是除了 x 轴以外的向量在变换之后无法保持平行, 但是却有两个特征值.
标签：Eigenvectors,特征值,特征向量,boldsymbol,矩阵,2.8,bmatrix,Eigenvalues,向量 来源： https://www.cnblogs.com/wind2375like/p/16145254.html