图论基础概念

图的定义

图 (Graph) 是一个二元组 G = (V(G), E(G))。其中V(G) 是非空集，称为 点集 (Vertex set)，对于V中的每个元素，我们称其为 顶点 (Vertex) 或 节点 (Node)，简称 点； E(G)为V(G) 各结点之间边的集合，称为 边集 (Edge set)。

常用G = (V, E)表示图

图G的点数 |V(G)| 也被称作图G的 阶

 

相邻

在无向图G = (V, E)中，若点v是边e的一个端点， 则称v和e是关联的或相邻的。对于两定点u和v，若存在边(u, v), 则称u和v是相邻的

 

邻域

一个顶点的v∈V的邻域是所有与之相邻的顶点所构成的集合, 记作N(v)

 

度数

与一个顶点v关联的边的条数乘坐该顶点的 度，记作d(v). 特别的，对于边(v,v), 则每条这样的边要对d(v)产生2条贡献

 

出度与入度

在有向图G = (V, E)中， 以一个顶点v为起点的边的条数称为该顶点的出度,。以一个顶点v为终点的边的条数称为该节点的入度

 

简单图

• 自环(loop）：对E中的边e = (u, v), 若 u = v，则e被称为一个自环

• 重边(Multiple edge): 若E中存在两个完全相同的元素(边) e1, e2, 则他们被称作一组重边

 

路径

• 途径(walk)：途径一个将诺肝个点连接起来的边的集合。形式化的说，途径w是一个边的集合, 这个边集需要满足条件：存在一个由点构成的序列V0, V1 , ....., V k满足ei的两个端点分别为Vi-1 和Vi 这样的路径可以简写为V0 -->V1 --> ....... --> Vk. 通常来说，边的数量K被称为这条途径的长度

• 迹(Trail):对于一条途径w， 若e1， e2, ...... ,ek两两互不相同，则称w是一条迹

• 路径(path)，简单路径：对于一条迹w，若其连接的点的序列中点两两不同，则称w是一条路径

• 回路(Circuit)：对于一个迹w， 若V0 = Vk，则称w是一个回路

• 环/圈(Cycle)，简单回路: 对于一个回路W, 若V0 = Vk是点序列中唯一出现的点对， 则称w是一个环

 

子图

对一张图G = (V, E), 若存在另一张图H = (V', E')满足V‘ ⊆ V 且 E' ⊆ E, 则称H是G的子图，记作H⊆G

 

连通

对于一张无向图G = (V, E), 对于u, v ∈ V, 若存在一条途径是的v0 = u, vk = v, 则称u和v是连通的

若无向图G = (V, E), 满足其中任意两个顶点均连通， 则称 G 是连通图，G的这一性质称为连通性

若H是G的一个连通子图，且不存在F满足H ⊊ F ⊆ G且F为连通图，则H是G的一个连通块/ 连通分量

 

割

对于连通图G = (V, E), 若V’ ⊆ V 且 G [V / V'] (即从G中删去V'中的点)不是连通图，则V' 是图G的一个点割集。 大小唯一的点割集又被称作割点(Cut vertex)

删除该点后的连通图就不在连通的点的集合

对于连通图 G = (V, E), 若 E' ∈ E 且 G' = (V, E\E')(即从G 中删除E' 的边)不是连通图，则E'是图G的一个边割集。大小为一的边割集又被称作桥

删除该边后连通图不在连通的边的集合

 

完全图

若无向简单图G满足任意不同两点间均有边， 则称G为完全图

 

零图

边集为空的图称为零图，n阶零图极为Nn

 

竞赛图

若有向简单图G满足任意不同两点间都有恰好一条边(单向)，则称为竞赛图

 

二分图

如果一张图的点集可以被分为两部分，每一部分的内部都没有连边，那么这张图是一张二分图, 如果二分图中任何两个不在统一部分的点之间都有连边，那么这张图是一张完全二分图

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