集合枚举子集-学习笔记

有一个集合，请输出它的所有子集。

子集，即为被这个这个集合包括的所有集合，包括空集。那么显然，假如有 \(n\) 个元素，那么有 \(2^n\) 个子集。如何枚举子集呢？

首先有一个显然的方法：用 \(2^n\) 的 dfs 枚举。但这样有一个弊端：时空较大，而且比较麻烦。比如一个动态规划，你每次转移都要跑一遍 dfs ，时空开销很大，而且处理不方便。那么就有另外一种方法出现：循环枚举。

首先放代码：

for(int j=st;j;j=(j-1)&st) j2=st^j;

st 就是要枚举的集合，j 就是子集，j2 就是 j 相对于 st 的补集。这里我们认为集合是一个二进制数中所有元素 \(1\) ，一个 \(1\) 代表一个元素。为什么这样可以呢？

模拟一遍过程：st =1101，我们按照循环顺序模拟过程。

\(【1】1101\)​

\(【2】1100\)

\(【3】1001\)

\(【4】1000\)

\(【5】0101\)

\(【6】0100\)

\(【7】0001\)

我们假定 \(0000\) 也在元素中，然后按照一定规律排列子集：

\[【1】1101\;\;\; 【5】0101 \]

\[【2】1100\;\;\; 【6】0100 \]

\[【3】1001\;\;\; 【7】0001 \]

\[【4】1000\;\;\; 【8】0000 \]

有没有发现规律？每一行，后三位都是相同的。所以这个算法的本质算是，对于每一个 \(1\) ，先把这一位设定为 \(1\) 枚举后面所有位，再把这一位设定为 \(0\) 枚举一遍，然后再往前面递归。因为减 \(1\) 可以看做把最后一个 \(1\) 设定为 \(0\) ，后面所有设定为 \(1\)。而且这个做法是从大到小枚举子集，着实十分优美。但要注意的是这种办法没法枚举空集，需要手动计算。

枚举子集在一些位运算的题目中可能会涉及，而这种方法可以很好地减少代码复杂度以及时空复杂度，同时也是一种很好的思想。

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来源： https://www.cnblogs.com/One-coder/p/16113670.html