FWT 学习笔记

类似 FFT 地，FWT 也有这样的代码实现：

inline int add(int x){return x>=mod?x-mod:x;}
inline int sub(int x){return x<0?x+mod:x;}
inline void fwt(int *f,int len,int flg){
	for(int i=1;i<len;i<<=1)
		for(int j=0;j<len;j+=i+i)
			for(int k=j;k<j+i;k++){
				int u=f[k],v=f[k+i];
				f[k]=add(u+v);f[k+i]=sub(u-v);
				if(!flg){
					f[k]=1ll*f[k]*iv2%mod;
					f[k+i]=1ll*f[k+i]*iv2%mod;
				}
			}
}

相比于 FMT，FWT 有一半的常数并且可以执行异或操作。

uoj310. 黎明前的巧克力

题意：给定集合 \(S\)，计数 \(S1,S2,S3\) 互不相交，并为 \(S\)，且 \(\oplus S3=0\) 的方案数。

题解：显然有 \(dp\)：\(f_{i,j}=f_{i-1,j},f_{i,j}=2f_{i-1,j\oplus{a_i}}\)，令 \(F_{i,0}=1,F_{i,a_i}=2\)，则答案为 \(FWT(\prod F_i)\)

考察 FWT 的性质，首先 FWT 是线性变换，可以把 \(0\) 和 \(a_i\) 拆开算。

类似 FFT 地，FWT 相当于给每一维做 FFT，于是 \(FWT(F)(n)=\sum\limits_{k=0}^{2^l-1} F_k\prod\limits_{j=0}^l (-1)^{n_jk_j}=\sum\limits_{k=0}^{2^l-1} F_k(-1)^{n\&k}\)

于是显然 \(F_0=1\) 的 FWT 就是每一位都是 \(1\)，\(F_{a_i}=2\) 的 FWT 就是一堆 \(2\) 和 \(-2\)

于是我们只用知道最终有多少个 \(-1\) 和 \(3\) 就好了，显然我们知道和就能解出来，而和就是整体的 FWT

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 1e9
const int maxn=2e5+10;
const int mod=998244353;
const int iv2=(mod+1)/2;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
inline int add(int x){return x>=mod?x-mod:x;}
inline int sub(int x){return x<0?x+mod:x;}
inline void fwt(int *f,int len,int flg){
	for(int i=1;i<len;i<<=1)
		for(int j=0;j<len;j+=i+i)
			for(int k=j;k<j+i;k++){
				int u=f[k],v=f[k+i];
				f[k]=u+v;f[k+i]=u-v;
				if(!flg){
					f[k]=1ll*f[k]*iv2%mod;
					f[k+i]=1ll*f[k+i]*iv2%mod;
					f[k]=sub(f[k]);
					f[k+i]=sub(f[k+i]);
				}
			}
}
const int len=1<<20;
int n,m,a[len+5];
inline int ksm(int x,int y){
	int res=1;
	while(y){
		if(y&1)res=1ll*res*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;y>>=1;
	}return res;
}
int main(){
	n=read();
	for(int i=1,x;i<=n;i++)
		x=read(),a[x]++;
	fwt(a,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++)
		a[i]=1ll*ksm(3,(a[i]+n)/2)*ksm(mod-1,(n-a[i])/2)%mod;
	fwt(a,len,0);
	printf("%d\n",sub(a[0]-1));
	return 0;
}

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来源： https://www.cnblogs.com/syzf2222/p/16074760.html