AC 自动机

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    • 常见自动机
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自动机

OI 中「自动机」一般指「确定性有限状态自动机」（deterministic finite automaton，DFA）

基本定义

DFA 一般是识别字符串，一个自动机 \(A\)，若他能识别字符串 \(S\)，则 \(A(S)=1\)，否则 \(A(S)=0\) .

然后这个识别咋定义呢？当一个自动机读入一个字符串时，从初始状态（根节点）起按照转移函数一个一个字符地转移 . 如果读入完一个字符串的所有字符后位于一个接受状态，那么我们称这个自动机 接受 这个字符串，反之我们称这个自动机 不接受 这个字符串 .（这个接受其实就是识别吧）

形式化定义

其实弄懂了基本定义，形式化定义就很明了了 .

一个 DFA 由如下五个东西

• 状态集合 \(Q\) .
• 字符集 \(\Sigma\) .
• 状态转移函数 \(\sigma : Q\times \Sigma\to Q\) .
• 一个开始状态 \(s\in Q\)（即根节点）
• 接收状态集合 \(F\subseteq Q\) .

组成的五元组 \((Q,\Sigma,\sigma,s,F)\) .

常见自动机

• Trie：转移函数就是 Trie 上一条边，其能接受的字符串就是插入到 Trie 中的字符串（或者其前缀，这取决于怎么定义接受）
• 子序列自动机：能接受的字符串是给定字符串的所有子序列，转移函数 \(trans(x, c)\) 是在字符 \(c\) 对应的 \(\texttt{vector}\) 里 \(\texttt{upper_bound}(x)\) 得到的返回值 . 每个节点都可以看作接受状态 .
• KMP 自动机：由 \(s\) 构造 的自动机能接受的字符串是以 \(s\) 为子串的串 \(t\)，转移函数就是不断跳 next 的过程（形式化的，here）

然后就是我们现在要说的 AC 自动机，还有比较牛逼的（广义）后缀自动机（SAM），回文自动机（PAM）啥的，然而我不会啊 qwq

Reference

• skyh 神仙的课件《字符串算法基础》
• 自动机 - OI Wiki
• AC 自动机 - OI Wiki

标签：AC,定义,形式化,字符串,接受,自动机
来源： https://www.cnblogs.com/CDOI-24374/p/15968827.html