[loj2434]历史

虑$u$对答案的贡献（指以$u$为第一次战争）——

注意到$v$崛起时有贡献，当且仅当上一次崛起在$u$与$v$不同的儿子中（将$u$自身也看作一棵子树）

换言之，问题可以抽象为有$A_{i}$个$i$，将这$\sum_{i=1}^{k}A_{i}$个数任意排列后最大交替次数

记$x=\max_{1\le i\le k}A_{i},s=\sum_{i=1}^{k}A_{i}$，则最大交替次数为$\begin{cases}s-1&2x\le s\\2(s-x)&2x>s\end{cases}$（具体可以归纳证明）

代入原问题，有$x=\max(a_{u},S_{son})$且$s=S_{u}$，进而即可$o(n)$求出答案

进一步的，称$son$为$u$的重儿子当且仅当$2S_{son}>S_{u}$（显然一个点至多有一个重儿子）

由于$w_{i}\ge 0$，即修改仅会使得$x_{i}$到根节点上某些非重儿子变为重儿子（代替原来的重儿子，若存在）

不难发现，这与access的过程是类似地（但并不一定将所有边均变为实边），以此实现即可

关于复杂度，LCT中splay和虚边的复杂度是独立的，并分别考虑：

前者仍是$o(n\log n+m\log n)$，后者根据权值和翻倍的性质为$o(m\log V)$（其中$V$为值域）

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 400005
 4 #define ll long long
 5 vector<int>e[N];
 6 int n,m,x,y,fa[N],ch[N][2];
 7 ll ans,a[N],sz[N],sum_vir[N],sum[N];
 8 int which(int k){
 9     return ch[fa[k]][1]==k;
10 }
11 bool check(int k){
12     return ch[fa[k]][which(k)]!=k;
13 }
14 void up(int k){
15     sz[k]=a[k]+sum[ch[k][1]]+sum_vir[k];
16     sum[k]=sz[k]+sum[ch[k][0]];
17 }
18 void rotate(int k){
19     int f=fa[k],g=fa[f],p=which(k);
20     fa[k]=g;
21     if (!check(f))ch[g][which(f)]=k;
22     fa[ch[k][p^1]]=f,ch[f][p]=ch[k][p^1];
23     fa[f]=k,ch[k][p^1]=f,up(f),up(k);
24 }
25 void splay(int k){
26     for(int i=fa[k];!check(k);i=fa[k]){
27         if (!check(i)){
28             if (which(i)^which(k))rotate(k);
29             else rotate(i);
30         }
31         rotate(k);
32     }
33 }
34 ll get_ans(int k){
35     if ((a[k]<<1)>sz[k])return (sz[k]-a[k]<<1);
36     if (!ch[k][1])return sz[k]-1;
37     return (sz[k]-sum[ch[k][1]]<<1);
38 }
39 void dfs(int k,int f){
40     fa[k]=f;
41     for(int i=0;i<e[k].size();i++)
42         if (e[k][i]!=f)dfs(e[k][i],k),sz[k]+=sz[e[k][i]];
43     sum_vir[k]=sz[k],sz[k]+=a[k],sum[k]=sz[k];
44     for(int i=0;i<e[k].size();i++)
45         if ((e[k][i]!=f)&&((sum[e[k][i]]<<1)>sz[k])){
46             ch[k][1]=e[k][i];
47             sum_vir[k]-=sum[e[k][i]];
48         }
49     ans+=get_ans(k);
50 }
51 void update(int k,int x){
52     for(int i=k;i;i=fa[i])splay(i),ans-=get_ans(i);
53     a[k]+=x,up(k);
54     if ((sum[ch[k][1]]<<1)<=sz[k]){
55         sum_vir[k]+=sum[ch[k][1]];
56         ch[k][1]=0;
57     }
58     ans+=get_ans(k);
59     for(int i=k;fa[i];i=fa[i]){
60         sum_vir[fa[i]]+=x,up(fa[i]);
61         if ((sum[ch[fa[i]][1]]<<1)<=sz[fa[i]]){
62             sum_vir[fa[i]]+=sum[ch[fa[i]][1]];
63             ch[fa[i]][1]=0;
64             if ((sum[i]<<1)>sz[fa[i]]){
65                 sum_vir[fa[i]]+=sum[ch[fa[i]][1]]-sum[i];
66                 ch[fa[i]][1]=i;
67             }
68         }
69         ans+=get_ans(fa[i]);
70     }
71 }
72 int main(){
73     scanf("%d%d",&n,&m);
74     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
75     for(int i=1;i<n;i++){
76         scanf("%d%d",&x,&y);
77         e[x].push_back(y),e[y].push_back(x); 
78     }
79     dfs(1,0),printf("%lld\n",ans);
80     for(int i=1;i<=m;i++){
81         scanf("%d%d",&x,&y);
82         update(x,y),printf("%lld\n",ans);
83     }
84     return 0;
85 }

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标签：sz,历史,ch,int,sum,loj2434,fa,ans
来源： https://www.cnblogs.com/PYWBKTDA/p/15961913.html