文章目录

• 参考资料
• 前言
• 1. State Value Function
• • 1.1 State Value Function Estimation
  • • 1.1 Monte-Carlo(MC)-based
    • 1.2 TD-based
    • 1.3 MC 跟 TD 有什么样的差别
    • 1.3.1 方差
    • 1.3.2 评估结果不同
• 2. State-action Value Function(Q-function)
• • 2.1 Q函数作用机理分析
  • 2.2 通过Q函数找最优策略
  • • 2.2.1 为什么用 Q π ( s , a ) Q^{\pi}(s,a) Qπ(s,a)决定出来的 π ′ \pi' π′一定会比 π \pi π 好。
• 3. tips:Target Network
• • 3.1 为什么要引入target network
  • 3.2 Intuition
• 4. tips:Exploration
• • 4.1 exploration的必要性
  • 4.2 解决方法一：Epsilon Greedy
  • 4.2 解决方法二：Boltzmann Exploration
• 4. tips:Experience Replay
• • 4.1 怎么借助buffer训练 Q 的模型
  • 4.2 使用Experience Replay（经验回放）有什么好处？
• 5. DQN
• • 5.1 DQN 和 Q-learning 有什么不同？
• 6. 练习
• • 6.1 简答
  • 6.2 问答
  • • 1. 为什么在DQN中采用价值函数近似（Value Function Approximation）的表示方法？
    • 2. critic output通常与哪几个值直接相关？
    • 3. 我们通常怎么衡量state value function V π ( s ) V^{\pi}(s) Vπ(s)?分别的优势和劣势有哪些？
    • 4. 随机性策略和确定性策略有什么区别吗？
    • 5. 不打破数据相关性，神经网络的训练效果为什么就不好？

参考资料

https://datawhalechina.github.io/easy-rl/#/chapter6/chapter6

前言

• 传统的强化学习算法会使用表格的形式存储状态值函数 V ( s ) V(s) V(s) 或状态动作值函数 Q ( s , a ) Q(s,a) Q(s,a)，但是这样的方法存在很大的局限性。例如：现实中的强化学习任务所面临的状态空间往往是连续的，存在无穷多个状态，在这种情况下，就不能再使用表格对值函数进行存储。值函数近似利用函数直接拟合状态值函数或状态动作值函数，减少了对存储空间的要求，有效地解决了这个问题。

• 为了在连续的状态和动作空间中计算值函数 Q π ( s , a ) Q^{\pi}(s,a) Qπ(s,a)，我们可以用一个函数 Q ϕ ( s , a ) Q_{\phi}(\boldsymbol{s},\boldsymbol{a}) Qϕ​(s,a)来表示近似计算，称为价值函数近似(Value Function Approximation)。
  Q ϕ ( s , a ) ≈ Q π ( s , a ) Q_{\phi}(\boldsymbol{s}, \boldsymbol{a}) \approx Q^{\pi}(s, a) Qϕ​(s,a)≈Qπ(s,a)
  其中
  s , a \boldsymbol{s},\boldsymbol{a} s,a 分别是状态 s s s 和动作 a a a 的向量表示；
  函数 Q ϕ ( s , a ) Q_{\phi}(\boldsymbol{s}, \boldsymbol{a}) Qϕ​(s,a) 通常是一个参数为 ϕ \phi ϕ 的函数，比如神经网络，输出为一个实数，称为Q 网络(Q-network)。

1. State Value Function

• 在 value-based 的方法里面，我们学习的不是策略，我们要学习的是一个 critic(评论家)。评论家要做的事情是评价actor现在的行为有多好，即 Policy Evaluation(策略评估)。
• 有一种评论家叫做 state value function(状态价值函数)。评论家的输出值取决于状态和演员。评论家是在衡量某一个演员的好坏，而不是衡量一个状态的好坏。评论家的输出是跟演员有关的，状态的价值其实取决于你的演员，当演员变的时候，状态价值函数的输出其实也是会跟着改变的。

1.1 State Value Function Estimation

怎么衡量这个状态价值函数 V π ( s ) V^{\pi}(s) Vπ(s) 呢？有两种不同的做法：MC-based 的方法和 TD-based 的方法。

1.1 Monte-Carlo(MC)-based

• Monte-Carlo(MC)-based的方法就是让演员去跟环境做互动，要看演员好不好，我们就让演员去跟环境做互动，给评论家看。然后，评论家就统计说，

  • 演员如果看到状态 s a s_a sa​​，接下来的累积奖励会有多大。
  • 如果它看到状态 s b s_b sb​​，接下来的累积奖励会有多大。

• 但是实际上，我们不可能把所有的状态通通遍历。所以实际上 V π ( s ) V^{\pi}(s) Vπ(s) 是一个网络。对一个网络来说，就算输入状态是从来都没有看过的，它也可以想办法估测一个值。

• 如何训练这个网络?
  假设如果在状态 s a s_a sa​​，接下来的累积奖励是 G a G_a Ga​​。也就是说，对这个价值函数来说，如果输入是状态 s a s_a sa​​，正确的输出应该是 G a G_a Ga​​。如果输入状态 s b s_b sb​​，正确的输出应该是值 G b G_b Gb​​。所以在训练的时候， 它就是一个 回归问题(regression problem)。
  

1.2 TD-based

• 在 MC-based 的方法中，每次我们都要算累积奖励，也就是从某一个状态 s a s_a sa​ 一直玩到游戏结束的时候，得到的所有奖励的总和。所以你要使用 MC-based 的方法，你必须至少把这个游戏玩到结束。但有些游戏非常长，要玩到游戏结束才能够更新网络，花的时间太长了，因此我们会采用 TD-based 的方法。

• TD-based 的方法不需要把游戏玩到底，只要在游戏的某一个情况，某一个状态 s t s_t st​​ 的时候，采取动作 a t a_t at​​ 得到奖励 r t r_t rt​​ ，跳到状态 s t + 1 s_{t+1} st+1​​，就可以使用 TD 的方法。

• 如何使用TD方法？
  这边是基于以下这个式子：
  V π ( s t ) = V π ( s t + 1 ) + r t V^{\pi}\left(s_{t}\right)=V^{\pi}\left(s_{t+1}\right)+r_{t} Vπ(st​)=Vπ(st+1​)+rt​
  假设我们现在用的是某一个策略 π \pi π，在状态 s t s_t st​，它会采取动作 a t a_t at​​，给我们奖励 r t r_t rt​​ ，接下来进入 s t + 1 s_{t+1} st+1​​ 。状态 s t + 1 s_{t+1} st+1​​ 的值跟状态 s t s_t st​​ 的值，它们的中间差了一项 r t r_t rt​​。有了这个式子以后，你在训练的时候，你并不是直接去估测 V，而是希望你得到的结果 V 可以满足这个式子。
  也就是说我们会是这样训练的，我们把 s t s_t st​​ 丢到网络里面，因为 s t s_t st​ 丢到网络里面会得到 V π ( s t ) V^{\pi}(s_t) Vπ(st​)，把 s t + 1 s_{t+1} st+1​​ 丢到你的值网络里面会得到 V π ( s t + 1 ) V^{\pi}(s_{t+1}) Vπ(st+1​)，这个式子告诉我们， V π ( s t ) V^{\pi}(s_t) Vπ(st​) 减 V π ( s t + 1 ) V^{\pi}(s_{t+1}) Vπ(st+1​)的值应该是 r t r_t rt​。然后希望它们两个相减的 loss 跟 r t r_t rt​ 越接近，训练下去，更新 V 的参数，就可以把 V 函数学习出来。

1.3 MC 跟 TD 有什么样的差别

1.3.1 方差

MC 最大的问题就是方差很大。如果用 TD 的话，你是要去最小化这样的一个式子：

在这中间会有随机性的是 r。因为计算你在 s t s_t st​​ 采取同一个动作，你得到的奖励也不一定是一样的，所以 r 是一个随机变量。但这个随机变量的方差会比 G a G_a Ga​​ 还要小，因为 G a G_a Ga​​ 是很多 r 合起来，这边只是某一个 r 而已。 G a G_a Ga​ 的方差会比较大，r 的方差会比较小。但是这边你会遇到的一个问题是你这个 V 不一定估得准。假设你的这个 V 估得是不准的，那你使用这个式子学习出来的结果，其实也会是不准的。所以 MC 跟 TD 各有优劣。今天其实 TD 的方法是比较常见的，MC 的方法其实是比较少用的。

1.3.2 评估结果不同

• 假设有某一个评论家，它去观察某一个策略 π \pi π 跟环境互动的 8 个 episode 的结果。有一个演员 π \pi π 跟环境互动了8 次，得到了8 次玩游戏的结果。接下来这个评论家去估测状态的值。

• 我们先计算 s b s_b sb​​ 的值。 状态 s b s_b sb​ 在 8 场游戏里面都有经历过，其中有 6 场得到奖励 1，有 2 场得到奖励 0。所以如果你是要算期望值的话，就算看到状态 s b s_b sb​ 以后得到的奖励，一直到游戏结束的时候得到的累积奖励期望值是 3/4，计算过程如下式所示：
  6 × 1 + 2 × 0 8 = 6 8 = 3 4 \frac{6 \times 1 + 2 \times 0}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} 86×1+2×0​=86​=43​

• 但 s a s_a sa​​ 期望的奖励到底应该是多少呢？这边其实有两个可能的答案：一个是 0，一个是 3/4。为什么有两个可能的答案呢？这取决于你用 MC 还是TD。用 MC 跟用 TD 算出来的结果是不一样的。

• 假如用 MC 的话，你会发现这个 s a s_a sa​​ 就出现一次，看到 s a s_a sa​​ 这个状态，接下来累积奖励就是 0，所以 s a s_a sa​​ 期望奖励就是 0。

• 但 TD 在计算的时候，它要更新下面这个式子：
  V π ( s a ) = V π ( s b ) + r V^{\pi}\left(s_{a}\right)=V^{\pi}\left(s_{b}\right)+r Vπ(sa​)=Vπ(sb​)+r
  因为我们在状态 s a s_a sa​得到奖励 r=0 以后，跳到状态 s b s_b sb​​。所以状态 s b s_b sb​的奖励会等于状态 s b s_b sb​ 的奖励加上在状态 s a s_a sa​ 跳到状态 s b s_b sb​​ 的时候可能得到的奖励 r。而这个得到的奖励 r 的值是 0， s b s_b sb​​ 期望奖励是 3/4，那 s a s_a sa​​ 的奖励应该是 3/4。

• 用 MC 跟 TD 估出来的结果很有可能是不一样的。就算评论家观察到一样的训练数据，它最后估出来的结果也不一定是一样的。为什么会这样呢？你可能问说，哪一个结果比较对呢？其实就都对。

• 因为在第一个轨迹， s a s_a sa​​ 得到奖励 0 以后，再跳到 s b s_b sb​ 也得到奖励 0。这边有两个可能。

  • 一个可能是： s a s_a sa​​ 是一个标志性的状态，只要看到 s a s_a sa​​ 以后， s b s_b sb​​ 就会拿不到奖励， s a s_a sa​​ 可能影响了 s b s_b sb​​。如果是用 MC 的算法的话，它会把 s a s_a sa​​ 影响 s b s_b sb​ 这件事考虑进去。所以看到 s a s_a sa​ 以后，接下来 s b s_b sb​​ 就得不到奖励， s b s_b sb​​ 期望的奖励是 0。
  • 另一个可能是：看到 s a s_a sa​ 以后， s b s_b sb​​ 的奖励是 0 这件事只是一个巧合，并不是 s a s_a sa​​ 所造成，而是因为说 s b s_b sb​​ 有时候就是会得到奖励 0，这只是单纯运气的问题。其实平常 s b s_b sb​ 会得到奖励期望值是 3/4，跟 s a s_a sa​​ 是完全没有关系的。所以假设 s a s_a sa​​ 之后会跳到 s b s_b sb​​，那其实得到的奖励按照 TD 来算应该是 3/4。

• 所以不同的方法考虑了不同的假设，运算结果不同。

2. State-action Value Function(Q-function)

还有另外一种评论家叫做 Q-function。它又叫做state-action value function(状态-动作价值函数)。

• 状态价值函数的输入是一个状态，它是根据状态去计算出，看到这个状态以后的期望的累积奖励( expected accumulated reward)是多少。
• 状态-动作价值函数的输入是一个状态、动作对，它的意思是说，在某一个状态采取某一个动作，假设我们都使用演员 π \pi π ，得到的累积奖励的期望值有多大

2.1 Q函数作用机理分析

Q-function 有两种写法：

• 输入是状态跟动作，输出就是一个标量；
• 输入是一个状态，输出就是好几个值。
  

虽然表面上我们学习一个 Q-function，它只能拿来评估某一个演员 π \pi π 的好坏，但只要有了这个 Q-function，我们就可以做强化学习。有了这个 Q-function，我们就可以决定要采取哪一个动作，我们就可以进行策略改进(Policy Improvement)。

• 它的原则是这样，假设有一个初始的演员 π \pi π，这个 π \pi π 跟环境互动，会收集数据。接下来学习一个 π \pi π 这个演员的 Q 值，你去衡量一下 π \pi π 在某一个状态强制采取某一个动作， TD 或 MC会得到的期望奖励。学习出一个 Q-function 以后，就可以找到一个新的策略 π ′ \pi' π′ ，policy π ′ \pi' π′ 一定会比原来的策略 π \pi π 还要好(那等一下会定义说，什么叫做好)。然后用 π ′ \pi' π′ 取代 π \pi π，再去找它的 Q-function，得到新的以后，再去找一个更好的策略。这样一直循环下去，policy 就会越来越好。

• 首先要定义的是什么叫做比较好？这边好是说，对所有可能的状态 s 而言， V π ′ ( s ) ≥ V π ( s ) V^{\pi^{\prime}}(s) \geq V^{\pi}(s) Vπ′(s)≥Vπ(s)。也就是说我们走到同一个状态 s 的时候，如果拿 π π \piπ ππ继续跟环境互动下去，我们得到的奖励一定会小于等于用 π ′ \pi' π′ 跟环境互动下去得到的奖励。所以不管在哪一个状态，你用 π ′ \pi' π′ 去做交互，得到的期望奖励一定会比较大。所以 π ′ \pi' π′ 是比 π \pi π 还要好的一个策略。

2.2 通过Q函数找最优策略

• 有了 Q-function 以后，怎么找这个 π ′ \pi' π′ 呢？
  π ′ ( s ) = arg ⁡ max ⁡ a Q π ( s , a ) \pi^{\prime}(s)=\arg \max _{a} Q^{\pi}(s, a) π′(s)=argamax​Qπ(s,a)

• 根据上式决定那 π ′ \pi' π′ 一定会比 π \pi π还要好。假设已经学习出 π \pi π 的 Q-function，今天在某一个状态 s，你把所有可能的动作 a 都一一带入这个 Q-function，看看哪一个 a 可以让 Q-function 的值最大，那这个动作就是 π ′ \pi' π′ 会采取的动作。

• 这边要注意一下，给定这个状态 s，你的策略 π \pi π 并不一定会采取动作a，我们是给定某一个状态 s 强制采取动作 a，用 π \pi π 继续互动下去得到的期望奖励，这个才是 Q-function 的定义。所以在状态 s 里面不一定会采取动作 a。用 π ′ \pi' π′ 在状态 s 采取动作 a 跟 π \pi π 采取的动作是不一定会一样的， π ′ \pi' π′ 所采取的动作会让它得到比较大的奖励。

  • 所以这个 π ′ \pi' π′ 是用 Q-function 推出来的，没有另外一个网络决定 π ′ \pi' π′ 怎么交互，有 Q-function 就可以找出 π ′ \pi' π′。
  • 但是这边有另外一个问题就是，在这边要解一个 arg max 的问题，所以 a 如果是连续的就会有问题。如果是离散的，a 只有 3 个选项，一个一个带进去， 看谁的 Q 最大，没有问题。但如果 a 是连续的，要解 arg max 问题，就会有问题。

2.2.1 为什么用 Q π ( s , a ) Q^{\pi}(s,a) Qπ(s,a)决定出来的 π ′ \pi' π′一定会比 π \pi π 好。

假设有一个策略叫做 π ′ \pi' π′，它是由 Q π Q^{\pi} Qπ 决定的。我们要证对所有的状态 s 而言， V π ′ ( s ) ≥ V π ( s ) V^{\pi^{\prime}}(s) \geq V^{\pi}(s) Vπ′(s)≥Vπ(s)。

怎么证呢？我们先把 V π ( s ) V^{\pi}(s) Vπ(s) 写出来：
V π ( s ) = Q π ( s , π ( s ) ) V^{\pi}(s)=Q^{\pi}(s, \pi(s)) Vπ(s)=Qπ(s,π(s))

假设在状态 s follow π \pi π 这个演员，它会采取的动作就是 π ( s ) \pi(s) π(s)，那你算出来的 Q π ( s , π ( s ) ) Q^{\pi}(s, \pi(s)) Qπ(s,π(s))会等于 V π ( s ) V^{\pi}(s) Vπ(s)。一般而言， Q π ( s , π ( s ) ) Q^{\pi}(s, \pi(s)) Qπ(s,π(s)) 不一定等于 V π ( s ) V^{\pi}(s) Vπ(s) ，因为动作不一定是 π ( s ) \pi(s) π(s)。但如果这个动作是 π ( s ) \pi(s) π(s) 的话， Q π ( s , π ( s ) ) Q^{\pi}(s, \pi(s)) Qπ(s,π(s))是等于 V π ( s ) V^{\pi}(s) Vπ(s) 的。

Q π ( s , π ( s ) ) Q Q^{\pi}(s, \pi(s))Q Qπ(s,π(s))Q 还满足如下的关系：
Q π ( s , π ( s ) ) ≤ max ⁡ a Q π ( s , a ) Q^{\pi}(s, \pi(s)) \le \max _{a} Q^{\pi}(s, a) Qπ(s,π(s))≤amax​Qπ(s,a)

因为 a 是所有动作里面可以让 Q 最大的那个动作，所以今天这一项一定会比它大。这一项就是 Q π ( s , a ) Q^{\pi}(s, a) Qπ(s,a)， a a a 就是 π ′ ( s ) \pi'(s) π′(s)。因为 π ′ ( s ) \pi'(s) π′(s) 输出的 a a a 就是可以让 Q π ( s , a ) Q^\pi(s,a) Qπ(s,a) 最大的那一个，所以我们得到了下面的式子：
max ⁡ a Q π ( s , a ) = Q π ( s , π ′ ( s ) ) \max _{a} Q^{\pi}(s, a)=Q^{\pi}\left(s, \pi^{\prime}(s)\right) amax​Qπ(s,a)=Qπ(s,π′(s))

于是：
V π ( s ) ≤ Q π ( s , π ′ ( s ) ) V^{\pi}(s) \leq Q^{\pi}\left(s, \pi^{\prime}(s)\right) Vπ(s)≤Qπ(s,π′(s))

在这个状态 s 你故意不按照 π \pi π 所给你指示的方向，而是按照 π ′ \pi' π′ 的方向走一步，但只有第一步是按照 π ′ \pi' π′ 的方向走，只有在状态 s 这个地方，你才按照 π ′ \pi' π′ 的指示走，接下来你就按照 π \pi π 的指示走。虽然只有一步之差， 但是从上面这个式子可知，虽然只有一步之差，但你得到的奖励一定会比完全 follow π \pi π 得到的奖励还要大。

接下来要证下面的式子：
Q π ( s , π ′ ( s ) ) ≤ V π ′ ( s ) Q^{\pi}\left(s, \pi^{\prime}(s) \right) \le V^{\pi'}(s) Qπ(s,π′(s))≤Vπ′(s)

也就是说，只有一步之差，你会得到比较大的奖励。但假设每步都是不一样的，每步都是 follow π ′ \pi' π′ 而不是 π \pi π 的话，那你得到的奖励一定会更大。如果你要用数学式把它写出来的话，你可以写成 Q π ( s , π ′ ( s ) ) Q^{\pi}\left(s, \pi^{\prime}(s)\right) Qπ(s,π′(s)) ，它的意思就是说，我们在状态 s t s_t st​​ 采取动作 a t a_t at​​，得到奖励 r t r_{t} rt​​，然后跳到状态 s t + 1 s_{t+1} st+1​​，即如下式所示：
Q π ( s , π ′ ( s ) ) = E [ r t + V π ( s t + 1 ) ∣ s t = s , a t = π ′ ( s t ) ] Q^{\pi}\left(s, \pi^{\prime}(s)\right)=E\left[r_t+V^{\pi}\left(s_{t+1}\right) \mid s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] Qπ(s,π′(s))=E[rt​+Vπ(st+1​)∣st​=s,at​=π′(st​)]

在文献上有时也会说：在状态 s t s_t st​​ 采取动作 a t a_t at​ 得到奖励 r t + 1 r_{t+1} rt+1​​， 有人会写成 r t r_t rt​​，但意思其实都是一样的。

因为 V π ( s ) ≤ Q π ( s , π ′ ( s ) ) V^{\pi}(s) \leq Q^{\pi}\left(s, \pi^{\prime}(s)\right) Vπ(s)≤Qπ(s,π′(s))，也就是 V π ( s t + 1 ) ≤ Q π ( s t + 1 , π ′ ( s t + 1 ) ) V^{\pi}(s_{t+1}) \leq Q^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi^{\prime}(s_{t+1})\right) Vπ(st+1​)≤Qπ(st+1​,π′(st+1​))，所以我们得到下式：
E [ r t + V π ( s t + 1 ) ∣ s t = s , a t = π ′ ( s t ) ] ≤ E [ r t + Q π ( s t + 1 , π ′ ( s t + 1 ) ) ∣ s t = s , a t = π ′ ( s t ) ] \begin{array}{l} E\left[r_{t}+V^{\pi}\left(s_{t+1}\right) | s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \\ \leq E\left[r_{t}+Q^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi^{\prime}\left(s_{t+1}\right)\right) | s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \end{array} E[rt​+Vπ(st+1​)∣st​=s,at​=π′(st​)]≤E[rt​+Qπ(st+1​,π′(st+1​))∣st​=s,at​=π′(st​)]​

因为 Q π ( s t + 1 , π ′ ( s t + 1 ) ) = r t + 1 + V π ( s t + 2 ) Q^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi^{\prime}\left(s_{t+1}\right)\right) = r_{t+1}+V^{\pi}\left(s_{t+2}\right) Qπ(st+1​,π′(st+1​))=rt+1​+Vπ(st+2​)，所以我们得到下式：
E [ r t + Q π ( s t + 1 , π ′ ( s t + 1 ) ) ∣ s t = s , a t = π ′ ( s t ) ] = E [ r t + r t + 1 + V π ( s t + 2 ) ∣ s t = s , a t = π ′ ( s t ) ] \begin{array}{l} E\left[r_{t}+Q^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi^{\prime}\left(s_{t+1}\right)\right) | s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \\ =E\left[r_{t}+r_{t+1}+V^{\pi}\left(s_{t+2}\right) | s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \end{array} E[rt​+Qπ(st+1​,π′(st+1​))∣st​=s,at​=π′(st​)]=E[rt​+rt+1​+Vπ(st+2​)∣st​=s,at​=π′(st​)]​

然后再代入 V π ( s ) ≤ Q π ( s , π ′ ( s ) ) V^{\pi}(s) \leq Q^{\pi}\left(s, \pi^{\prime}(s)\right) Vπ(s)≤Qπ(s,π′(s))，一直算到回合结束，即：
V π ( s ) ≤ Q π ( s , π ′ ( s ) ) = E [ r t + V π ( s t + 1 ) ∣ s t = s , a t = π ′ ( s t ) ] ≤ E [ r t + Q π ( s t + 1 , π ′ ( s t + 1 ) ) ∣ s t = s , a t = π ′ ( s t ) ] = E [ r t + r t + 1 + V π ( s t + 2 ) ∣ s t = s , a t = π ′ ( s t ) ] ≤ E [ r t + r t + 1 + Q π ( s t + 2 , π ′ ( s t + 2 ) ∣ s t = s , a t = π ′ ( s t ) ] = E [ r t + r t + 1 + r t + 2 + V π ( s t + 3 ) ∣ s t = s , a t = π ′ ( s t ) ] ≤ ⋯ ≤ E [ r t + r t + 1 + r t + 2 + ⋯ ∣ s t = s , a t = π ′ ( s t ) ] = V π ′ ( s ) \begin{aligned} V^{\pi}(s) &\le Q^{\pi}(s,\pi'(s)) \\ &=E\left[r_{t}+V^{\pi}\left(s_{t+1}\right) | s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right]\\ &\le E\left[r_{t}+Q^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi^{\prime}\left(s_{t+1}\right)\right) | s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \\ &=E\left[r_{t}+r_{t+1}+V^{\pi}\left(s_{t+2}\right) |s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \\ & \le E\left[r_{t}+r_{t+1}+Q^{\pi}\left(s_{t+2},\pi'(s_{t+2}\right) | s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \\ & = E\left[r_{t}+r_{t+1}+r_{t+2}+V^{\pi}\left(s_{t+3}\right) |s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \\ & \le \cdots\\ & \le E\left[r_{t}+r_{t+1}+r_{t+2}+\cdots | s_{t}=s, a_{t}=\pi^{\prime}\left(s_{t}\right)\right] \\ & = V^{\pi'}(s) \end{aligned} Vπ(s)​≤Qπ(s,π′(s))=E[rt​+Vπ(st+1​)∣st​=s,at​=π′(st​)]≤E[rt​+Qπ(st+1​,π′(st+1​))∣st​=s,at​=π′(st​)]=E[rt​+rt+1​+Vπ(st+2​)∣st​=s,at​=π′(st​)]≤E[rt​+rt+1​+Qπ(st+2​,π′(st+2​)∣st​=s,at​=π′(st​)]=E[rt​+rt+1​+rt+2​+Vπ(st+3​)∣st​=s,at​=π′(st​)]≤⋯≤E[rt​+rt+1​+rt+2​+⋯∣st​=s,at​=π′(st​)]=Vπ′(s)​

因此：
V π ( s ) ≤ V π ′ ( s ) V^{\pi}(s)\le V^{\pi'}(s) Vπ(s)≤Vπ′(s)

3. tips:Target Network

3.1 为什么要引入target network

我们在学习 Q-function 的时候，也会用到 TD 的概念。
Q π ( s t , a t ) = r t + Q π ( s t + 1 , π ( s t + 1 ) ) \mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t}, a_{t}\right) =r_{t}+\mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi\left(s_{t+1}\right)\right) Qπ(st​,at​)=rt​+Qπ(st+1​,π(st+1​))

但是实际上这样的一个输入并不好学习，因为假设这是一个回归问题， Q π ( s t , a t ) \mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t}, a_{t}\right) Qπ(st​,at​) 是网络的输出， r t + Q π ( s t + 1 , π ( s t + 1 ) ) r_{t}+\mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi\left(s_{t+1}\right)\right) rt​+Qπ(st+1​,π(st+1​)) 是目标，会发现目标是会动的。当然要实现这样的训练，其实也没有问题，在做反向传播的时候， Q π Q^{\pi} Qπ 的参数被更新，把两个更新的结果加在一起，因为它们是同一个模型 Q π Q^{\pi} Qπ。但这样会导致训练变得不太稳定，因为假设把 Q π ( s t , a t ) \mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t}, a_{t}\right) Qπ(st​,at​)当作模型的输出， r t + Q π ( s t + 1 , π ( s t + 1 ) ) r_{t}+\mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi\left(s_{t+1}\right)\right) rt​+Qπ(st+1​,π(st+1​))当作目标的话，要去拟合的目标是一直在变的，这种一直在变的目标的训练是不太好训练的。

所以通常会把右边这个 Q 网络固定住。也就是说在训练的时候，只更新左边的 Q 网络的参数，而右边的 Q 网络的参数会被固定住。因为右边的 Q 网络负责产生目标，所以叫 目标网络。因为目标网络是固定的，所以得到的目标 r t + Q π ( s t + 1 , π ( s t + 1 ) ) r_{t}+\mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi\left(s_{t+1}\right)\right) rt​+Qπ(st+1​,π(st+1​))的值也是固定的。因为目标网络是固定的，我们只调左边网络的参数，它就变成一个回归问题。我们希望模型的输出的值跟目标越接近越好，只需最小化它的均方误差(mean square error)。

在实现的时候，一般把左边的 Q 网络更新好几次以后，再去用更新过的 Q 网络替换这个目标网络。

初始时这两个网络是一样的，然后在训练的时候，把右边的 Q 网络固定住。在做梯度下降的时候，只调左边这个网络的参数，可能更新 100 次以后才把这个参数复制到右边的网络去。复制过去以后，目标值就变了，接下来就要重新再训练。

3.2 Intuition

我们可以通过猫追老鼠的例子来直观地理解为什么要 fix target network。猫是 Q estimation，老鼠是 Q target。一开始的话，猫离老鼠很远，我们想让这个猫追上老鼠。

因为 Q target 也是跟模型参数相关的，所以每次优化后，Q target 也会动。这就导致一个问题，猫和老鼠都在动。然后它们就会在优化空间里面到处乱动，就会产生非常奇怪的优化轨迹，这就使得训练过程十分不稳定。所以我们可以固定 Q target，让老鼠动得不是那么频繁，可能让它每 5 步动一次，猫则是每一步都在动。如果老鼠每 5 次动一步的话，猫就有足够的时间来接近老鼠。然后它们之间的距离会随着优化过程越来越小，最后它们就可以拟合，拟合过后就可以得到一个最好的Q 网络。

4. tips:Exploration

4.1 exploration的必要性

• 当我们使用 Q-function 的时候，policy 完全取决于 Q-function。给定某一个状态，你就穷举所有的 a， 看哪个 a 可以让 Q 值最大，它就是采取的动作。这个跟策略梯度不一样，在做策略梯度的时候，输出其实是随机的。我们输出一个动作的分布，根据这个动作的分布去做采样， 所以在策略梯度里面，你每次采取的动作是不一样的，是有随机性的。
• 像这种 Q-function， 如果采取的动作总是固定的，那么这并不是一个好的收集数据的方式。例如你要估测在某一个状态采取某一个动作会得到的 Q 值，你一定要在那一个状态采取过那一个动作，才估得出它的值。如果你没有在那个状态采取过那个动作，你其实估不出那个值的。如果是用深的网络，就你的 Q-function 是一个网络，这种情形可能会没有那么严重。但是一般而言，假设 Q-function 是一个表格，没有看过的 state-action pair，它就是估不出值来。网络也是会有一样的问题，只是没有那么严重。

4.2 解决方法一：Epsilon Greedy

Epsilon Greedy的意思是说，我们有 1 − ε 1-\varepsilon 1−ε 的概率会按照 Q-function 来决定 动作，通常 ε \varepsilon ε 就设一个很小的值， 1 − ε 1-\varepsilon 1−ε可能是 90%，也就是 90% 的概率会按照 Q-function 来决定 动作，但是你有 10% 的机率是随机的。通常在实现上 ε \varepsilon ε 会随着时间递减。在最开始的时候。因为还不知道那个动作是比较好的，所以你会花比较大的力气在做探索。接下来随着训练的次数越来越多。已经比较确定说哪一个 Q 是比较好的。你就会减少你的探索，你会把 ε \varepsilon ε 的值变小，主要根据 Q-function 来决定你的动作，比较少随机决定动作，这是 Epsilon Greedy。

4.2 解决方法二：Boltzmann Exploration

这个方法就比较像是策略梯度。在策略梯度里面，网络的输出是一个期望的动作空间上面的一个的概率分布，再根据概率分布去做采样。那其实你也可以根据 Q 值 去定一个概率分布，假设某一个动作的 Q 值越大，代表它越好，我们采取这个动作的机率就越高。但是某一个动作的 Q 值小，不代表我们不能尝试。

Q: 我们有时候也要尝试那些 Q 值比较差的动作，怎么做呢？

A: 因为 Q 值是有正有负的，所以可以它弄成一个概率，你先取指数，再做归一化。然后把 exp ⁡ ( Q ( s , a ) ) \exp(Q(s,a)) exp(Q(s,a)) 做归一化的这个概率当作是你在决定动作的时候采样的概率。在实现上，Q 是一个网络，所以你有点难知道， 在一开始的时候网络的输出到底会长怎么样子。假设你一开始没有任何的训练数据，参数是随机的，那给定某一个状态 s，不同的 a 输出的值可能就是差不多的，所以一开始 Q ( s , a ) Q(s,a) Q(s,a)应该会倾向于是均匀的。也就是在一开始的时候，你这个概率分布算出来，它可能是比较均匀的。

4. tips:Experience Replay

• Experience Replay 会构建一个 Replay Buffer，Replay Buffer 又被称为 Replay Memory。我们会把所有的数据放到一个 buffer 里面。我们之前在某一个状态 s t s_t st​​，采取某一个动作 a t a_t at​​，得到了奖励 r t r_t rt​​。然后跳到状态 s t + 1 s_{t+1} st+1​​。用 π \pi π去跟环境互动很多次，把收集到的资料都放到这个 replay buffer 里面。

• 这边要注意是 replay buffer 里面的经验可能是来自于不同的策略，Buffer 只有在它装满的时候，才会把旧的数据丢掉。所以这个 buffer 里面它其实装了很多不同的策略的经验。

4.1 怎么借助buffer训练 Q 的模型

• 有了 buffer 以后，怎么训练 Q 的模型，怎么估 Q-function？做法是这样：迭代地去训练 Q-function，在每次迭代里面，从这个 buffer 里面随机挑一个 batch 出来，就跟一般的网络训练一样，从训练集里面，去挑一个 batch 。根据batch里的数据经验去更新 Q-function。就跟 TD learning 要有一个目标网络是一样的。

• 当我们这么做的时候， 它变成了一个 off-policy 的做法。因为本来我们的 Q 是要观察 π \pi π 的经验，但实际上 replay buffer 里面的这些经验不是通通来自于 π \pi π，有些是过去其他的 π \pi π 所遗留下来的经验。

• Q：我们明明是要观察 π \pi π 的值，里面混杂了一些不是 π \pi π 的经验，这有没有关系？

• A：没关系。这并不是因为过去的 π \pi π 跟现在的 π \pi π 很像， 就算过去的 π \pi π 没有很像，其实也是没有关系的。主要的原因是因为， 我们并不是去采样一个轨迹，我们只采样了一笔经验，所以跟是不是 off-policy 这件事是没有关系的。就算是 off-policy，就算是这些经验不是来自于 π \pi π，我们其实还是可以拿这些经验来估测 Q π ( s , a ) Q^{\pi}(s,a) Qπ(s,a)。这件事有点难解释，不过你就记得说 Experience Replay 在理论上也是没有问题的。

4.2 使用Experience Replay（经验回放）有什么好处？

这么做有两个好处：

• 其实在做强化学习的时候， 往往最花时间的步骤是在跟环境做互动，训练网络反而是比较快的。因为用 GPU 训练其实很快， 真正花时间的往往是在跟环境做互动。用 replay buffer 可以减少跟环境做互动的次数，因为在做训练的时候，你的经验不需要通通来自于某一个策略。一些过去的策略所得到的经验可以放在 buffer 里面被使用很多次，被反复的再利用，这样让采样到经验的利用是比较高效的。
• 在训练网络的时候，其实我们希望一个 batch 里面的数据越多样(diverse)越好。如果 batch 里面的数据都是同样性质的，训练下去是容易坏掉的。如果 batch 里面都是一样的数据，训练的时候，performance 会比较差。我们希望 batch 的数据越多样越好。那如果 buffer 里面的那些经验通通来自于不同的策略，那采样到的一个 batch 里面的数据会是比较多样的。

5. DQN

DQN 使用深度神经网络近似拟合状态动作值函数 Q ( s , a ) Q(s,a) Q(s,a).

• 上图就是一般的 Deep Q-network(DQN) 的算法。

• 这个算法是这样的。初始化的时候，你初始化 2 个网络：Q 和 Q ^ \hat{Q} Q^​​，一开始这个目标 Q 网络，跟原来的 Q 网络是一样的。在每一个 episode，你拿你的演员去跟环境做互动，在每一次互动的过程中，你都会得到一个状态 s t s_t st​，然后你会采取某一个动作 a t a_t at​​。怎么知道采取哪一个动作 a t a_t at​ 呢？就是根据你现在的 Q-function。但是要有探索的机制。比如说你用 Boltzmann 探索或是 Epsilon Greedy 的探索。那接下来你得到奖励 r t r_t rt​，然后跳到状态 s t + 1 s_{t+1} st+1​​。所以现在收集到一笔数据，这笔数据是 ( s t s_t st​​, a t a_t at​​ , r t r_t rt​, s t + 1 s_{t+1} st+1​​)。这笔数据放入 buffer 里面去。如果 buffer 满的话， 就再把一些旧的数据丢掉。接下来再从你的 buffer 里面去采样数据，那你采样到的是 ( s i , a i , r i , s i + 1 ) (s_{i}, a_{i}, r_{i}, s_{i+1}) (si​,ai​,ri​,si+1​)。这笔数据跟你刚放进去的不一定是同一笔，你可能抽到一个旧的。要注意的是，你采样出来的是一个 batch 的数据。接下来就是计算你的目标。假设采样出这么一笔数据。根据这笔数据去算你的目标。你的目标是什么呢？目标记得要用目标网络 Q ^ \hat{Q} Q^​ 来算。目标是：
  y = r i + max ⁡ a Q ^ ( s i + 1 , a ) y=r_{i}+\max _{a} \hat{Q}\left(s_{i+1}, a\right) y=ri​+amax​Q^​(si+1​,a)

• 其中 a 就是让 Q ^ \hat{Q} Q^​的值最大的 a。接下来我们要更新 Q 值，那就把它当作一个回归问题，希望 Q ( s i , a i ) Q(s_i,a_i) Q(si​,ai​) 跟你的目标越接近越好。然后假设已经更新了某一个数量的次，比如说 C 次，设 C = 100， 那你就把 Q ^ \hat{Q} Q^​设成 Q，这就是 DQN。

5.1 DQN 和 Q-learning 有什么不同？

整体来说，DQN 与 Q-learning 的目标价值以及价值的更新方式都非常相似，主要的不同点在于：

• DQN 将 Q-learning 与深度学习结合，用深度网络来近似动作价值函数，而 Q-learning 则是采用表格存储；
• DQN 采用了经验回放的训练方法，从历史数据中随机采样，而 Q-learning 直接采用下一个状态的数据进行学习。

6. 练习

6.1 简答

• Target Network： 为了解决在基于TD的Network的问题时，优化目标 Q π ( s t , a t ) = r t + Q π ( s t + 1 , π ( s t + 1 ) ) \mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t}, a_{t}\right) =r_{t}+\mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi\left(s_{t+1}\right)\right) Qπ(st​,at​)=rt​+Qπ(st+1​,π(st+1​)) 左右两侧会同时变化使得训练过程不稳定，从而增大regression的难度。target network选择将上式的右部分即 r t + Q π ( s t + 1 , π ( s t + 1 ) ) r_{t}+\mathrm{Q}^{\pi}\left(s_{t+1}, \pi\left(s_{t+1}\right)\right) rt​+Qπ(st+1​,π(st+1​))固定，通过改变上式左部分的network的参数，进行regression，这也是一个DQN中比较重要的tip

6.2 问答

1. 为什么在DQN中采用价值函数近似（Value Function Approximation）的表示方法？

答：首先DQN为基于深度学习的Q-learning算法，而在Q-learning中，我们使用表格来存储每一个state下action的reward，即我们前面所讲的状态-动作值函数 Q ( s , a ) Q(s,a) Q(s,a) 。但是在我们的实际任务中，状态量通常数量巨大并且在连续的任务中，会遇到维度灾难的问题，所以使用真正的Value Function通常是不切实际的，所以使用了价值函数近似（Value Function Approximation）的表示方法。

2. critic output通常与哪几个值直接相关？

答：critic output与state和actor有关。我们在讨论output时通常是对于一个actor下来衡量一个state的好坏，也就是state value本质上来说是依赖于actor。不同的actor在相同的state下也会有不同的output。

3. 我们通常怎么衡量state value function V π ( s ) V^{\pi}(s) Vπ(s)?分别的优势和劣势有哪些？

答：

• 基于Monte-Carlo（MC）的方法 ：本质上就是让actor与environment做互动。critic根据”统计“的结果，将actor和state对应起来，即当actor如果看到某一state s a s_a sa​​ ，将预测接下来的accumulated reward有多大如果它看到 state s b s_b sb​​，接下来accumulated reward 会有多大。 但是因为其普适性不好，其需要把所有的state都匹配到，如果我们我们是做一个简单的贪吃蛇游戏等state有限的问题，还可以进行。但是如果我们做的是一个图片型的任务，我们几乎不可能将所有的state（对应每一帧的图像）的都”记录“下来。总之，其不能对于未出现过的input state进行对应的value的输出。
• 基于MC的Network方法： 为了解决上面描述的Monte-Carlo（MC）方法的不足，我们将其中的state value function V π ( s ) V^{\pi}(s) Vπ(s) 定义为一个Network，其可以对于从未出现过的input state，根据network的泛化和拟合能力，也可以”估测“出一个value output。
• 基于Temporal-difference（时序差分）的Network方法，即TD based Network： 与我们再前4章介绍的MC与TD的区别一样，这里两者的区别也相同。在 MC based 的方法中，每次我们都要算 accumulated reward，也就是从某一个 state s a s_a sa​​ 一直玩到游戏结束的时候，得到的所有 reward 的总和。所以要应用 MC based 方法时，我们必须至少把这个游戏玩到结束。但有些游戏非常的长，你要玩到游戏结束才能够 update network，花的时间太长了。因此我们会采用 TD based 的方法。TD based 的方法不需要把游戏玩到底，只要在游戏的某一个情况，某一个 state s t s_t st​ 的时候，采取 action a t a_t at​​ 得到 reward r t r_t rt​​ ，跳到 state s t + 1 s_{t+1} st+1​​，就可以应用 TD 的方法。公式与之前介绍的TD方法类似，即： V π ( s t ) = V π ( s t + 1 ) + r t V^{\pi}\left(s_{t}\right)=V^{\pi}\left(s_{t+1}\right)+r_{t} Vπ(st​)=Vπ(st+1​)+rt​。
• 基于MC和基于TD的区别在于： MC本身具有很大的随机性，我们可以将其 G a G_a Ga​​ 堪称一个random的变量，所以其最终的variance很大。而对于TD，其具有随机性的变量为 r r r ,因为计算 s t s_t st​​ 我们采取同一个 action，你得到的 reward 也不一定是一样的，所以对于TD来说， r r r 是一个 random 变量。但是相对于MC的 G a G_a Ga​的随机程度来说， r r r 的随机性非常小，这是因为本身 G a G_a Ga​​ 就是由很多的 r r r 组合而成的。但另一个角度来说， 在TD中，我们的前提是 r t = V π ( s t + 1 ) − V π ( s t ) r_t=V^{\pi}\left(s_{t+1}\right)-V^{\pi}\left(s_{t}\right) rt​=Vπ(st+1​)−Vπ(st​) ,但是我们通常无法保证 V π ( s t + 1 ) 、 V π ( s t ) V^{\pi}\left(s_{t+1}\right)、V^{\pi}\left(s_{t}\right) Vπ(st+1​)、Vπ(st​)计算的误差为零。所以当 V π ( s t + 1 ) 、 V π ( s t ) V^{\pi}\left(s_{t+1}\right)、V^{\pi}\left(s_{t}\right) Vπ(st+1​)、Vπ(st​)计算的不准确的话，那应用上式得到的结果，其实也会是不准的。所以 MC 跟 TD各有优劣。
• 目前， TD 的方法是比较常见的，MC 的方法其实是比较少用的。

4. 随机性策略和确定性策略有什么区别吗？

答：随机策略表示为某个状态下动作取值的分布，确定性策略在每个状态只有一个确定的动作可以选。 从熵的角度来说，确定性策略的熵为0，没有任何随机性。随机策略有利于我们进行适度的探索，确定 性策略的探索问题更为严峻。

5. 不打破数据相关性，神经网络的训练效果为什么就不好？

答：在神经网络中通常使用随机梯度下降法。随机的意思是我们随机选择一些样本来增量式的估计梯度，比如常用的 采用batch训练。如果样本是相关的，那就意味着前后两个batch的很可能也是相关的，那么估计的梯度也会呈现出某种相关性。如果不幸的情况下，后面的梯度估计可能会抵消掉前面的梯度量。从而使得训练难以收敛。

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