利用Log Binning拟合参数

绘制度分布是分析网络属性的一个组成部分。该过程从获得 Nk 开始，即度数为 k 的节点数。这可以通过直接测量或模型来提供。从 Nk 我们计算出 pk = Nk /N。问题是，如何绘制 pk 以最好地提取其属性。

• 使用log-log图

在无标度网络中，具有一或两条链路的众多节点与少数节点共存，其中少数节点为具有数千甚至数百万链路的节点。使用线性 k 轴压缩无数小k区域中的节点，使它们不可见。类似地，由于 k = 1 和大 k 的 pk 可能存在数量级差异，如果我们在线性垂直轴上绘制 pk，大 k 的值将显示为零（图 4.22a）。对数图的使用避免了这些问题。
我们可以使用 10 次方的对数轴（图 4.22b），或者我们可以绘制 log k 函数的 log pk。请注意，pk =0 或 k=0 的点不会在 log-log 图上显示，因为 log 0=-∞。

• 避免Linear Binning

最有缺陷的方法（但在文献中经常出现）是在对数图上简单地绘制 pk = Nk/N（图 4.22b）。这称为线性分箱（Linear Binning），因为每个bin具有相同的大小 Δk = 1。对于无标度网络，linear binning会在大 k 处产生可立即识别的平台，由形成水平线的大量数据点组成（图 4.22b）。这个平台有一个简单的解释：通常我们只有一个高度节点的样本，因此在高 k 区域中，我们要么有 Nk=0（没有具有 k 度的节点），要么有 Nk=1（具有 k 度的单个节点）。
因此，Linear Binning将提供 pk=0（未在对数图上显示）或 pk = 1/N（适用于所有hubs），在 pk = 1/N 处生成一个平台。

这个平台会影响我们估计度指数 γ 的能力。例如，如果我们尝试使用linear binning对图 4.22b 中所示的数据拟合幂律，则获得的 γ 与实际值 γ=2.5 完全不同。原因是在linear binning下，我们在小 k 的bin中有大量节点，这使我们能够自信地在这种情况下拟合 pk。在大 k 的 bin 中，我们的节点太少，无法对 pk 进行适当的统计估计。相反，新出现的平台会使得拟合参数偏离。然而，正是这种高 k 状态在确定 γ 中起关键作用。增加 bin 大小不会解决这个问题。因此，建议避免对肥尾分布进行Linear binning。

• 使用Logarithmic Binning

Logarithmic binning纠正了linear binning的非均匀采样。对于 log-binning，我们让 bin 大小随程度增加，确保每个 bin 具有相当数量的节点。例如，我们可以选择 bin 大小为 2 的倍数，这样第一个 bin 的大小为 b0=1，包含所有 k=1 的节点；第二个大小为 b1=2，包含度数 k=2、3 的节点；第三个 bin 的大小为 b2=4，包含度数 k=4、5、6、7 的节点。通过归纳，第 n 个 bin 的大小为 2n-1，包含度数的所有节点。请注意，bin大小可以随任意增量增加，，其中 c > 1。度分布由给出，其中 Nn 是在大小为 bn 的 bin n 中找到的节点数〈kn〉 是 bin bn 中节点的平均度数。
图 4.22c 显示了logarithmic binning的 pk。请注意，现在扩展到高 k 平台，其本来在linear binning下不可见。因此，logarithmic binning也可以从稀有的高度节点中提取有用信息。

参考文献：barabasi，network science.

标签：bin,Nk,Log,Binning,binning,拟合,pk,节点,log
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