树的基础知识

定义：n个结点构成的有限集合；

根结点：root，用r表示；其余结点可分为m个互不相交的子集，称为原来树的子树；

树的特点：

• 子树互不相交
• 除了根结点每个结点有且仅有一个父结点
• N个结点的树有N-1个边

非树：

基本术语：

• 结点的度（Degree）:结点的子树个数
• 树的度：树中所有结点中最大的度数
• 叶结点(leaf)：度为0的结点
• 父结点(Parent)：有子树的结点是其子树的根结点的父结点
• 子结点(Child)：和父结点相对应
• 兄弟结点(Sibling)：具有同一父结点的各结点彼此是兄弟结点
• 路径和路径长度：从一个结点到另一个结点称为路径，包含的边数称为路径长度
• 祖先结点(Ancestor)：从树根往上的每个结点都是其祖先结点
• 子孙结点(Descendant)：某一结点子树中的所有结点都为其子孙结点
• 结点的层次(Level)：根结点为第一层，往下加一
• 树的深度(Depth)：书中所有结点最大层次为树的深度

树的表示：儿子兄弟表示法

二叉树

定义：一个有穷的结点集合，若不为空，由根结点和左子树T_L、==右子树T_R==两个不想交的二叉树组成。

二叉树的五种基本形态：

• 空树
• 只有一个结点
• 只有左子树
• 只有右子树
• 左右子树都有

二叉树的子树有左右之分

特殊二叉树：

• 斜二叉树：一边倒，形成链表
• 完美二叉树/满二叉树：除了最下一层每个结点都有两个子结点
• 完全二叉树：满二叉树最下一层从右边缺失一部分，左边是连续的

二叉树的重要性质：

• 第i层最大结点数2^i-1
• 深度为k的二叉树总结点数2^k-1
• n₀:叶结点的个数，n₂：度为2的结点个数；满足关系：n₀= n₂+1(可通过边的关系证明)

常用遍历方法：

• 先序：根，左子树，右子树
• 中序：左子树，根，右子树
• 后续：左子树，右子树，根
• 层次遍历：从上到下，从左到右

存储结构：

• 顺序存储：完全二叉树（父结点i/2，左子树根结点2i，右子树根结点2i+1）,一般二叉树可留空位（造成空间浪费）
• 链表存储：两个指针分别指向左子树和右子树

递归遍历：先序中序后序遍历过程中经过的结点顺序一样，只是访问时机不同

• 先序遍历

• 中序遍历

• 后序遍历

中序遍历非递归遍历算法：使用堆栈，遇到结点就压栈，左子树遍历完出栈，然后遍历右子树

层序遍历：使用队列，遇到节点，节点出队列，左右子结点进队列

二叉搜索树

非空二叉搜索树性质：

• 非空左子树的键值小于根结点的键值
• 非空右子树的键值大于根结点的键值
• 左右子树都是二叉搜索树

删除结点：

• 若为叶结点直接删除
• 只有一个子结点，删除后父结点成为子结点的父结点
• 有两个子结点，用另一结点替代要删除的结点（右子树最小元素或者左子树最大元素，根据二叉树性质，这两个结点一定没有两个子结点）

平衡二叉树（AVL树）

平衡因子（Balance Factor）：BF(T)=h_L-h_R (分别代表左右子树的高度)

平衡二叉树：非空树左右子树高度的绝对差不超过1（平衡因子的绝对值小于等于1）

h=O(log₂n)

平衡二叉树的调整：平衡二叉树也是搜索树，插入结点时会破坏平衡，所以需要调整。

• RR旋转（右单旋）

• LL旋转（左单旋）

• LR旋转

• RL旋转

标签：左子,结点,遍历,右子,基础知识,子树,二叉树
来源： https://blog.csdn.net/weixin_44736530/article/details/123094282