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L1 loss 和L2 loss 和Smooth L1 loss 的区别

作者:互联网

总结对比下L1L1 损失函数,L2L2 损失函数以及SmoothL1SmoothL1 损失函数的优缺点。

均方误差MSE (L2L2 Loss)

均方误差(Mean Square Error,MSE)是模型预测值f(x)f(x) 与真实样本值yy 之间差值*方的*均值,其公式如下

 

MSE=∑ni=1(fxi−yi)2nMSE=∑i=1n(fxi−yi)2n

 

其中,yiyi和f(xi)f(xi)分别表示第ii个样本的真实值及其对应的预测值,nn为样本的个数。

忽略下标ii ,设n=1n=1,以f(x)−yf(x)−y为横轴,MSE的值为纵轴,得到函数的图形如下:

MSE的函数曲线光滑、连续,处处可导,便于使用梯度下降算法,是一种常用的损失函数。 而且,随着误差的减小,梯度也在减小,这有利于收敛,即使使用固定的学习速率,也能较快的收敛到最小值。

当yy和f(x)f(x)也就是真实值和预测值的差值大于1时,会放大误差;而当差值小于1时,则会缩小误差,这是*方运算决定的。MSE对于较大的误差(>1>1)给予较大的惩罚,较小的误差(<1<1)给予较小的惩罚。也就是说,对离群点比较敏感,受其影响较大。

如果样本中存在离群点,MSE会给离群点更高的权重,这就会牺牲其他正常点数据的预测效果,最终降低整体的模型性能。 如下图:

可见,使用 MSE 损失函数,受离群点的影响较大,虽然样本中只有 5 个离群点,但是拟合的直线还是比较偏向于离群点。

*均绝对误差(L1L1 Loss)

*均绝对误差(Mean Absolute Error,MAE) 是指模型预测值f(x)f(x)和真实值yy之间距离的*均值,其公式如下:

 

MAE=∑nn=1∣f(xi)−yi∣nMAE=∑n=1n∣f(xi)−yi∣n

 

忽略下标ii ,设n=1n=1,以f(x)−yf(x)−y为横轴,MAE的值为纵轴,得到函数的图形如下:

MAE曲线连续,但是在y−f(x)=0y−f(x)=0处不可导。而且 MAE 大部分情况下梯度都是相等的,这意味着即使对于小的损失值,其梯度也是大的。这不利于函数的收敛和模型的学习。但是,无论对于什么样的输入值,都有着稳定的梯度,不会导致梯度爆炸问题,具有较为稳健性的解。

相比于MSE,MAE有个优点就是,对于离群点不那么敏感。因为MAE计算的是误差y−f(x)y−f(x)的绝对值,对于任意大小的差值,其惩罚都是固定的。

针对上面带有离群点的数据,MAE的效果要好于MSE。

显然,使用 MAE 损失函数,受离群点的影响较小,拟合直线能够较好地表征正常数据的分布情况。

MSE和MAE的选择

如果离群点(异常值)需要被检测出来,则可以选择MSE作为损失函数;如果离群点只是当做受损的数据处理,则可以选择MAE作为损失函数。

总之,MAE作为损失函数更稳定,并且对离群值不敏感,但是其导数不连续,求解效率低。另外,在深度学习中,收敛较慢。MSE导数求解速度高,但是其对离群值敏感,不过可以将离群值的导数设为0(导数值大于某个阈值)来避免这种情况。

在某些情况下,上述两种损失函数都不能满足需求。例如,若数据中90%的样本对应的目标值为150,剩下10%在0到30之间。那么使用MAE作为损失函数的模型可能会忽视10%的异常点,而对所有样本的预测值都为150。这是因为模型会按中位数来预测。而使用MSE的模型则会给出很多介于0到30的预测值,因为模型会向异常点偏移。

这种情况下,MSE和MAE都是不可取的,简单的办法是对目标变量进行变换,或者使用别的损失函数,例如:Huber,Log-Cosh以及分位数损失等。

Smooth L1L1 Loss

在Faster R-CNN以及SSD中对边框的回归使用的损失函数都是Smooth L1L1 作为损失函数,

 

SmoothL1(x)={0.5x2∣x∣−0.5if∣x∣<1otherwiseSmoothL1(x)={0.5x2if∣x∣<1∣x∣−0.5otherwise

 

其中,x=f(xi)−yix=f(xi)−yi 为真实值和预测值的差值。

Smooth L1L1 能从两个方面限制梯度:

  1. 当预测框与 ground truth 差别过大时,梯度值不至于过大;
  2. 当预测框与 ground truth 差别很小时,梯度值足够小。

对比L1L1 Loss 和 L2L2 Loss

其中xx为预测框与groud truth之间的差异:

 

=x2(1)L2(x)=x2(2)L1(x)=x(3)smoothL1(x)={0.5x2if∣x∣<1∣x∣−0.5otherwise

 

上面损失函数对xx的导数为:

 

=2x(4)∂L2(x)∂x=2x(5)∂L1(x)∂x={1if x≥0−1otherwise(6)∂smoothL1(x)∂x={xif∣x∣<1±1otherwise

 

上面导数可以看出:

L1L1 Loss ,L2L2 Loss以及SmoothL1SmoothL1 放在一起的函数曲线对比

从上面可以看出,该函数实际上就是一个分段函数,在[-1,1]之间实际上就是L2损失,这样解决了L1的不光滑问题,在[-1,1]区间外,实际上就是L1损失,这样就解决了离群点梯度爆炸的问题

实现 (PyTorch)

def _smooth_l1_loss(input, target, reduction='none'):
    # type: (Tensor, Tensor) -> Tensor
    t = torch.abs(input - target)
    ret = torch.where(t < 1, 0.5 * t ** 2, t - 0.5)
    if reduction != 'none':
        ret = torch.mean(ret) if reduction == 'mean' else torch.sum(ret)
    return ret      

 

也可以添加个参数beta 这样就可以控制,什么范围的误差使用MSE,什么范围内的误差使用MAE了。

def smooth_l1_loss(input, target, beta=1. / 9, reduction = 'none'):
    """
    very similar to the smooth_l1_loss from pytorch, but with
    the extra beta parameter
    """
    n = torch.abs(input - target)
    cond = n < beta
    ret = torch.where(cond, 0.5 * n ** 2 / beta, n - 0.5 * beta)
    if reduction != 'none':
        ret = torch.mean(ret) if reduction == 'mean' else torch.sum(ret)
    return ret

 

总结

对于大多数CNN网络,我们一般是使用L2-loss而不是L1-loss,因为L2-loss的收敛速度要比L1-loss要快得多。

对于边框预测回归问题,通常也可以选择*方损失函数(L2损失),但L2范数的缺点是当存在离群点(outliers)的时候,这些点会占loss的主要组成部分。比如说真实值为1,预测10次,有一次预测值为1000,其余次的预测值为1左右,显然loss值主要由1000决定。所以FastRCNN采用稍微缓和一点绝对损失函数(smooth L1损失),它是随着误差线性增长,而不是*方增长。

  Smooth L1 和 L1 Loss 函数的区别在于,L1 Loss 在0点处导数不唯一,可能影响收敛。Smooth L1的解决办法是在 0 点附*使用*方函数使得它更加*滑。

Smooth L1的优点

标签:loss,函数,离群,Smooth,损失,MAE,L1,MSE
来源: https://www.cnblogs.com/xiaochouk/p/15915819.html