背包问题（四个类型）
作者：互联网
1.01背包
2.完全背包
3.多重背包
4.分组背包
一.01背包
01背包：每个物品只有一个。
题目：
有 N件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
题目分析：f[i][j]为当前背包容量并且已装了前i-1个物品对应的价值。
题目最终落脚在第i个物品装与不装上。
1.在装第i个物品时，包的容量比物品的体积小，装不下，此时价值与前i-1个相同。
即f[i][j]=f[i-1][j];
2.包内剩余的容量还能装下第i个物品，但是不一定达到最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个。
即f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
这是二维的，可用一维优化。
优化为：f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
注意：此时的第二层循环要用逆序
核心代码：
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 10000
int dp[N][N];
int w[N];
int v[N];
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=m;j++)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j>=v[i])
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<dp[n][m]<<endl;
return 0;
}
优化版
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 1000
int dp[N];
int w[N];
int v[N];
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=m;j>=v[i];j--)
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<dp[m]<<endl;
return 0;
}二.完全背包（每个物品有无限个）
题目
有 N种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10题目分析：
与01背包差别不大,不过01背包若取了第i个物品，背包容量变为 j-v[i]（假设j为背包容量），剩下的在i-1中选，其最大价值为 b[i-1][j-v[i]]+p[i] (v[i]为物品体积，p[i]为物品价值）
而完全背包则是剩下的仍可以从i中取 ，最大价值为 b[i][j-v[i]]+p[i]。
代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N],f[N][N];
int n,m;
int main()
{
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++)
for(int k=0;k*v[i]<=j;k++)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}优化版
int main()
{
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++)
{
f[i][j]=f[i-1][j];
if(j>=v[i])
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}终极版
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int n,m;
int f[N];
int main()
{
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=v[i];j<=m;j++)
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}三.多重背包（每个物品有有限个）
题目：
有 N种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10题目分析：
可以把相同种类的物品进行合并，如拿出第i种物品中的n个进行合并，得到一组新的物品，以此类推，最后每种物品都有一组，这样就转化为01背包问题。
代码
朴素版（注意合并物品体积一定不能超过当前背包总体积）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e2+10;
int w[N],v[N],s[N],n,m,f[N][N];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++)
for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+w[i]*k);
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}二进制优化版
若加上条件
数据范围
0<N≤10000<N≤1000
0<V≤20000<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000
题目分析：
将第i种物品的m个按照1，2，4，8.........进行合并，这步的复杂度由m-->log2（m）,最后复杂度变为o（v*logn）
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=25000;//(N*logs),1000*log2000约为24000，定义为25000
int n,m,a,b,s,cnt=0;//用来存储新的物品
int f[N],v[N],w[N];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>a>>b>>s;
int k=1;//把第i种的k个物品绑在一起为一组，k初始化为1
while(k<=s)
{
cnt++;//给当前新的物品组编号
v[cnt]=a*k;//k个物品的总体积
w[cnt]=b*k;//k个物品的总价值
s-=k;//算完K了，把k从s中减去
k*=2;//按照1，2，4，8.....进行组别里个数增加
}
if(s>0)//在经历不知道多少次的s-k循坏后，s表示第i种物品的剩余的数量，如果大于0
{
cnt++;//组的编号增加
v[cnt]=a*s;//剩余的s*第i种物品的单个体积（剩余一组的总体积）
w[cnt]=b*s;//同理剩余的物品的价值（剩余物品的总价值）
}
}
n=cnt;//将n原来表示的物品种数转变为分完之后的组的编号
//这样将物品分好组后就转化为01背包问题（每种物品对应一组（可以想象为一种物品对应一个箱子装））
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=m;j>=v[i];j--)
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}单调队列优化版
首先需要理解滑动窗口类问题（这里就不赘述了）
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e4+10;
int n,m;
int f[N],g[N],q[N];//g数组用来复制f数组，q用来形成单调队列存放g元素的下标
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int c,w,s;
cin>>c>>w>>s;
memcpy(g,f,sizeof f);
//按体积分为v类
for(int j=0;j<c;j++)
{
int tt=-1,hh=0;//队尾与队头
for(int k=j;k<=m;k+=c)
{
f[k]=g[k];
if(hh<=tt&&k-s*c>q[hh])
hh++;
if(hh<=tt)
f[k]=max(f[k],g[q[hh]]+(k-q[hh])/c*w);//(k-q[hh])/c表示件数
while(hh<=tt&&g[q[tt]]-(q[tt]-j)/c*w<=g[k]-(k-j)/c*w)
tt--;
q[++tt]=k;
}
}
}
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}四.分组背包（每一组最多选一个）
题目：
有 N组物品和一个容量是 V的背包。
每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 ij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。
接下来有 N组数据：
- 每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i 个物品组的物品数量；
- 每组数据接下来有 Si 行，每行有两个整数vij,wij，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j个物品的体积和价值；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000<N,V≤100
0<Si≤1000<Si≤100
0<vij,wij≤1000<vij,wij≤100
输入样例
3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5
输出样例：
8相较与之前的，这个比较简单
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
int n,m;
int v[N][N],w[N][N],s[N],f[N];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>s[i];
for(int j=0;j<s[i];j++)
cin>>v[i][j]>>w[i][j];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=m;j>=0;j--)
for(int k=0;k<s[i];k++)
if(v[i][k]<=j)
f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}标签：背包,int,cin,物品,体积,类型,四个,include 来源： https://blog.csdn.net/qq_64102892/article/details/122807110