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单变量微积分（六）：线性近似(一阶)概念及应用

2022-02-03 14:59:57 作者：互联网

这两个式子是等价的，成立条件为 ${\color{Red} x\approx x_{0}}$ 时或 ${\color{Red} \lim_{\Delta x\rightarrow 0}}$ 时

$f(x)\approx f(x_{0})+{f}'(x_{0})\cdot (x-x_{0})$

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}\approx {f}'x_{0}$

当 ${\color{Red} x_{0}\approx 0}$ 时

$f(x)\approx f(0)+{f}'(0)\cdot x$

故而带入可得以下近似等式（重要）

$\sin x\approx x$

$\cos x\approx 1$

$e^{x}\approx 1+x$

$\ln (1+x)\approx x$

$(1+x)^{r}\approx 1+rx$

以上的公式，左边很复杂，右边是简化。

例1：求解 $\ln 1.1$

通过上面的公式我们可知 $\ln 1.1= \ln (1+0.1)\approx \frac{1}{10}$

如果直接计算上式需要用到计算器，但是通过近似可以简化很多。

例2：当 ${\color{Red} x\approx 0}$ 时，求 $\frac{e^{-3x}}{\sqrt{1+x}}$ 的近似

化为 $e^{-3x}\cdot (1+x)^{-\frac{1}{2}}= 1-3x-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}x^{2}$

高次项可在此划去变成 $e^{-3x}\cdot (1+x)^{-\frac{1}{2}}\approx 1-\frac{7}{2}x$

因为 $x\rightarrow 0$ ，高次项的值会变得很小，小到可以忽略，只留下线性近似部分内容即可。此处建议看3blue1brown关于微积分部分的图形化展示。

标签：公式,微积分,高次,近似,简化,线性,一阶
来源： https://blog.csdn.net/weixin_43369654/article/details/122772224