全概率公式、贝叶斯公式

全概率公式

全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。
内容：如果事件B1、B2、B3…Bi构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集；并且P（Bi)大于0，则对任一事件A有

\[P(A)=P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bi)P(Bi) \]

可以注意到若事件Bi中发生A的概率为0，则可不考虑Bi，即所取的事件Bi的要求放宽为：

1）两两互不相容
2）它们的并能完全包含事件A

贝叶斯公式

贝叶斯定理由英国数学家贝叶斯 ( Thomas Bayes 1702-1761 ) 发展，用来描述两个条件概率之间的关系，比如 P(A|B) 和 P(B|A)。按照乘法法则，可以立刻导出：

\[P(AB) = P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B) \]

如上公式也可变形为：

\[P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B) \]

其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性
可以理解为，当我们知道一件事情的结果时，我们能分析造成该结果的原因的概率。

在贝叶斯法则中，每个名词都有约定俗成的名称：
Pr(A)是A的先验概率或边缘概率。之所以称为"先验"是因为它不考虑任何B方面的因素。
Pr(B)是B的先验概率或边缘概率，也作标准化常量（normalized constant）。
Pr(A|B)是已知B发生后A的条件概率，也由于得自B的取值而被称作A的后验概率。
Pr(B|A)是已知A发生后B的条件概率，也由于得自A的取值而被称作B的后验概率。

例题

肝癌诊断

某地区居民的肝癌发病率为0.0004 ,现用甲胎蛋白法进行普查。医学研究表明,化验结是有错检的可能的。已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性, 而没患肝癌的人其化验结果99.9% 呈阴性。现某人的检查结果呈阳性,问他真的患有肝癌的概率是多少?

答案：一个人化验结果呈阳性，则他患有肝癌的概率是28.4%。

对其的理解：因为发病率低，所以未患肝癌的人口基数是很大的，在这么大的人口基数下，即使只有0.01%的概率误诊，误诊人数仍十分可观，因此在化验结果呈阳性的人（样本空间变为检测阳性）中患有肝癌的人只占28.4%，由此可见复检的重要性。

标签：Pr,概率,公式,Bi,贝叶斯,肝癌
来源： https://www.cnblogs.com/exungsh/p/15860251.html