其他分享
首页 > 其他分享> > 随笔2022-1-30

随笔2022-1-30

作者:互联网

咱就是说闲不住了

话不多说先看题:
image
在等腰\(Rt△EBD\)中,A为EB中点,以B为圆心,BA长为半径作弧,交边BD于C点。现在弧AC上有一动点P,求 \((EP+PD)_{min}\)。

啊……咱就是在抖音上无聊刷到的,那个老登说这是什么“超难最值问题”,结果就这么个破题,大家可以试试看。

PS:顺便晒晒游戏战绩(一年前的纪录,挺菜的)

image

试完了吗

首先,有点几何直观的人都能猜到P在弧AC中点时,\(EP+PD\) 取得 \(min\) 值。但是怎么去证明呢?

我们给出一种比较标准的方法:

看到这个,毫无疑问的想到“阿氏圆”问题。但是……传统的阿氏圆问题中,我们的 "\(k\)" 一般给定的值都等于 \(\frac{r}{BD}\) ,这时 \(k=1≠1/2\)。
那么,怎样改进传统的办法使它切合这个题目呢?
emm,有同学之前读过我的另一篇 Blog : 阿氏圆拓展,在该篇文章中,我们引入了椭圆来解决问题。同样的,如果在这题也引入椭圆,会不会好办呢?
于是,我们以 E、D 为焦点,构造椭圆,当椭圆与圆弧AC相切时,\(P\) 运动到切点(也就是AC中点)\(F\) 时,\(EP+PD\) 取得 \(min\) 值。
image

可是我们初中生又没学过椭圆

那也好办。看到等腰\(Rt△EBD\),两边又在x、y轴上,自然而然想到构造直线 \(l:y-x=0\) ,然后看看和题目所求有什么关联没。
image
那我们也是构造出来了。令 \(l\) 与圆弧AC交点(也就是弧AC中点)为 \(F\),连接 EF 和 DF 。可以发现,当 \(P\) 与 \(F\) 不重合的时候,有两个三角形存在。根据三角形不等式,可得:
\(EP+PF>EF\) 以及 \(PD+PF>DF\) 。
整理得:
\(EP>EF-PF,PD>DF-PF\)
于是
\(EP+PD>EF+DF-2PF\) 。
但是我们的 \(P\) 和 \(F\) 是能够重合的,而 \(PF\) 最小值为 0 。
所以,当 \(P\) 与 \(F\) 重合时: \(EP+PD=EF+DF\) 取得 \(min\) 值。

戛然而止.Orz

标签:AC,EF,2022,DF,30,PF,PD,随笔,EP
来源: https://www.cnblogs.com/Dcct-Blog/p/15857657.html