图灵机之雕虫小技

之前写了一篇文章，家里狗狗是否图灵完备？，得出结论，能进行程序计算的一定是图灵完备的，图灵完备的不一定能进行程序计算。

这个结论，不严谨，后来我一直在思考。如果这个问题想清楚了，可能未来对人工智能的重大突破，都来源于对图灵停机问题的深入理解。

我们下面再次从小虫的角度来理解一下图灵机模型、图灵机计算、模拟、计算等问题。

 

原文首发于我的公众号：优前程，点击链接跳转

图灵机之雕虫小技

图灵机

 

 

这个装置由下面几个部分组成：一条无限长的纸带；一个读写头（中间那个大盒子）；内部状态（盒子上的方块，比如A、B、D、E）；还有一个程序对这个盒子进行控制。这个装置就是根据程序的命令及其内部状态进行磁带的读写和移动。

它工作的时候是这样的：从读写头在纸带上读出一个方格的信息，并且根据它当前的内部状态开始在程序表中查找对应的指令，然后得出一个输出动作，也就是往纸带上写信息，还是移动读写头到下一个方格。程序也会告诉它下一时刻内部状态转移到哪一个。

具体的程序就是一个列表，也叫作规则表或指令表。

因此，图灵机只要根据每一时刻读写头读到的信息和当前的内部状态进行查表，就可以确定它下一时刻的内部状态和输出动作了。

图灵机就是这么简单！不可思议吧？而只要你修改它的程序（也就是上面的规则表），它就可以为你做计算机能够完成的任何工作。因此可以说，图灵机就是一个最简单的计算机模型！

也许，你会觉得图灵机模型太简单，怎么可能完成计算机的复杂任务呢？问题的关键是如何理解这个模型。

理解图灵机模型

首先我们现实世界给图灵机建模。我们假设纸袋上有一只小虫，它思想很简单，只会根据纸带颜色，决定当前的行动。

小虫1.0

目前给它的指令是，看到黑色格子，前移一格；看到白色格子，后移一格。

• 黑色 前移
• 白色 后移

如下图

 

小虫会在后面两个格子之间永远循环下去……

无论怎样，小虫比起真实世界中的虫子来说，有一个致命的弱点：那就是如果你给它固定的输入信息，它就会给你固定的输出信息！因为程序是固定的，每当黑色信息输入的时候，无论如何小虫都仅仅前移一个方格，而不会做出其他的反应。它似乎真的是机械的！

小虫2.0

上面的小虫，没有内部状态，就是说没脑子，不能做判断，我们现在给它内部状态，升级一下程序。

输入	当前内部状态	输出	下一时刻的内部状态
黑	饥饿	涂白	吃饱
黑	吃饱	后移	饥饿
白	饥饿	涂黑	饥饿
白	吃饱	前移	吃饱

这里就比较绕了，比1.0复杂很多。你不仅需要指定每一种输入情况下小虫应该采取的动作，而且还要指定在每种输入和内部状态的组合情况下小虫应该怎样行动。

第一步：

 

 

第二步：

 

 

第三步：

 

 

第四步：

 

 

第五步：

 

 

第六步：

 

第七步：

 

第八步：

 

这时候的情况已经跟第四步的完全一样了，因而小虫会完全重复五、六、七、八步的动作，并永远循环下去。最后的黑色方格似乎是一个门槛，小虫无论如何也跨越不过去了。

小虫的行为比以前的程序复杂了一些。尽管从长期来看，它最后仍然会落入机械的循环或者无休止的重复。然而这与前面的程序从本质上已经完全不同了，因为当你给小虫输入白色信息的时候，它的反应是你“不能预测”的。它有可能涂黑方格也有可能前移一个格。当然前提是你不能打开小虫看到它的内部结构，也不能知道它的程序，那么你所看到的就是一个“不能预测”的满地乱爬的小虫。如果小虫的内部状态数再增多呢？那么它的行为会更加地“不可预测”。

说到这里，你可能对于“小虫的行为不可预测”这句话持反对意见。因为所有可能的输入状态是固定的，所有的内部状态无论多少也是固定的，那么小虫所有可能的行为就应该是有限的。然而，不要忘记纸带的长度是无限的，虽然每个具体的输入可能只有0和1两种状态，然而这些0和1的输入组合却是无限的。

退一步说，输入纸带的情况是有限的（你可以理解为01组合经过若干长度就会出现循环，比如011011011…），那么我们的小虫最终会不会必然陷入到无休止的循环中呢？答案是肯定的，因为这个时候输入的组合数乘以内部状态总数是一个有限的数值，因而小虫必然会在某时开始重复。

无论哪种情况，似乎你都可以通过某种聪明的“数学”判断小虫是否会循环以及在什么时候循环。也就是说，通过你那聪明的数学，只要看看小虫的程序，而不用执行它就能够预言小虫在多少步之后必然会“傻傻地”重复以前的动作。这样一来，那可真是名副其实的“雕虫小技”了。然而真的是这样吗？这种判定小虫傻傻循环的一般定理或程序存在吗？这个问题留待我们后面进行讨论。

好了，如果你已经彻底搞懂了我们的小虫是怎么工作的，那么你已经明白了图灵机的工作原理。因为从本质上讲，最后的小虫模型就是一个图灵机。

如何理解图灵机模型

刚才用小虫说明了图灵机的工作原理，相信你的第一个反应就是，这样的模型太简单了！它根本说明不了现实世界中的任何问题！下面，我就要试图说服你，图灵机这个模型是伟大的。

首先，我想说的是，其实我们每一个会决策、会思考的人就可以被抽象地看成一台图灵机。

小虫模型本质是：输入集合、输出集合、内部状态、固定的程序。就是这四样东西抓住了小虫信息处理的根本，也就是图灵机模型。

IPO模型

IPO ——input，progress，output。

再抽象一点，这就是个IPO模型。我们大脑就是这样的，看到美丽的景色，脑袋里面遣词造句，输出优美的文字；看到小孩跌倒，生出同情心，帮助小孩站起来；用手触摸水，太烫，兑冷水……

 

 

五官六感输入信息，大脑有内部状态进行处理，行动作出调整和改变（即输出）。

 

再回到开头，说的狗狗，也是一样的，所有动物都是这样的，又如前文比喻的小虫。

包括，记忆（内部状态），学习（程序的改变或升级），情绪（内部状态，情绪好和坏的时候，对应的不同规则的反应）。人的行为反应不固定，并非是机械化的。

我们也可以争辩，无论神经元如何传递信息、变化状态的规律都是固定的，可以被程序化的。那么脑作为神经元的整体，它的运作必然也要遵循固定的规则也就是程序了。如果是这样，正如图灵相信的，人脑也不会超越图灵机这个模型，所以，人工智能也必然是可能的。然而，我认为这个问题的答案很有可能没有这么简单。

无论如何，我相信你已经能够体会到了图灵机模型实际上是非常强有力的。数学家们早已经提出了邱奇-图灵论题以概括图灵机的计算能力，任何可计算过程都可以用图灵机来模拟。这是一个论题而非定理，因为它实际上是对可计算过程的定义，而非证明。但迄今为止，人们尚未发现一个可以视为计算的过程是图灵机不能模拟的，这就是图灵机模型的厉害之处了。

计算

前文讲过IPO模型，input 和output好理解，那我们再来看看progress，我们可以将其理解为“计算”。

如何理解？

如果我们把一切都看作信息，那么广义上讲，计算就是对信息的变换。你会发现，其实自然界充满了计算。如果我们把一个小球扔到地上，小球又弹起来了，那么大地就完成了一次对小球的计算。因为你完全可以把小球的运动都抽象成信息，它无非是一些位置、速度、形状等能用信息描述的东西，而大地把小球弹起来无非是对小球的这些信息进行了某种变换，因而大地就完成了一次计算。你可以把整个大地看作一个系统，而扔下去的小球是对这个系统的输入，那么弹回来的小球就是该系统的输出，因而也可以说，计算就是某个系统完成了一次从输入到输出的变换。

如果这样理解，你会发现，世间万物，到处都是“计算”。

计算的组合

更有意思的是，我们可以把若干个计算系统进行合并，构成更大的计算系统。比如还是那个小球，如果往地上放了一个跷跷板，小球掉到地上会弹起这个跷跷板的另一端，而跷跷板的另一端可能还是一个小球，于是这个弹起的小球又会砸向另一个跷跷板……

我们自然可以通过组合若干图灵机完成更大更多的计算，如果把一个图灵机对纸带信息变换的结果输入给另一台图灵机，然后再输入给别的图灵机……这就是把计算进行了组合。也许你还在为前面说的无限多的内部状态和无限复杂的程序而苦恼，那么现在不难明白，实际上我们并不需要写出无限复杂的程序列表，仅仅将这些图灵机组合到一起就可以产生复杂的行为了。

有了图灵机的组合，我们就能够从最简单的图灵机开始构造复杂的图灵机。那么最简单的图灵机是什么呢？我们知道最简单的信息就是0和1，最简单的计算就是对0或1进行的布尔运算。而布尔运算本质上其实就三种：与、或、非。从最简单的逻辑运算操作最简单的二进制信息出发，我们其实可以构造任意的图灵机。这点不难理解：任何图灵机都可以把输入、输出信息进行01编码，任何一个变换也可以最终分解为对01编码的变换，而对01编码的所有计算都可分解成前面说的三种运算。也许，现在你明白了为什么研究计算机的人都要去研究基本的布尔电路，cpu基本组成原理也是这个。奥秘就在于，用布尔电路可以组合出任意的图灵机。

征服无限的方法

我们会想小时候学加法，当理解了1+1=2原理了，几乎十以内加法都可以做，理解了进位，就可以做几百加几千的运算了。这个是小学四年级就会的，我们并不是将所有的加法都背下来的哦，我们是知道了相加的规则和进位的规则，这样多么复杂的两个数字相加，我们都可以求出解。

这就是归纳方法。

之前看到过一个问题，如果人类将要灭亡，最后留给后人一张纸，上面写什么？其中就有1+1=2。数学之美：关于两条直线的平行和相交

 

 

有了加法，就推出减法，有了减法，就自然会有“负数”概念；为了快速算加法，就有了乘法；有了乘法，就有了平方；有了平方，就会有人想到开方；当有古希腊好事者想对2开方，就有了引发第一次数学危机的无理数……

这就是人类数学大厦地基的一部分。如果我们能找出一些归纳方法，编出能让机器进行归纳的程序，然后机器能自己进行归纳学习，我们再也不用给它编制程序和规则了。这正是人工智能的终极目标。

归纳

上文讲了归纳的重要性，就是什么叫“开悟”。不管是看武侠小说，还是现实生活中说谁聪明。除了记忆力好以外，更重要的是，他能从一些原来输入的一些招式中，变幻出新的招式，从理解了1到能演绎出100种打法。

就像知道了11+17=28，几千上百个加法题，你都可以解开一样。

回到计算机，如果计算机能自动归纳，也就意味着我们可以为归纳方法编写一段程序P。这个程序可以理解为输入的是一些特殊的数对，输出的是能够生成这些数对的程序。也就是说输入具体的“招术”，输出的是这些“招术”的一般规律。如果程序P真的可以归纳，那么P就必然可以归纳出所有的规律。

大概是这样:

输入：[1,a],[3,b],[4,c],[7,d]…… 

获取归纳程序：P

把这1000个特殊情况输入到P中，那么P就应该能够产生这些对子的共性，也就是P自己这个程序了。换句话说，程序P产生了它自己，P自己把自己给归纳出来了。这似乎陷入了怪圈之中！另外，我们人类设计出来P，如果P可以归纳所有的规律，那么P能否归纳出“人归纳P”本身这个规律呢？仍然是怪圈问题！这样的问题似乎还有很多。

事实上，索洛莫诺夫（Solomonoff）很早就提出了通用归纳（universal reduction）模型，并对这个问题给出了明确的回答：虽然我们可以数学地写出通用归纳模型，但它却是不可计算的，也就是程序P并不存在，这与后面讨论的图灵停机程序有关。

模拟

什么是模拟？又是一个基本的问题，阿尔伯特·爱因斯坦说过，越是基本的概念就越是难以刻画清楚。模拟这个概念就是一个很难说清的问题。

比如，你跟孩子做了个鬼脸

标签：小虫,程序,图灵,图灵机,计算,雕虫小技,模拟
来源： https://www.cnblogs.com/youqiancheng/p/15851060.html