基本不等式

2022-01-27 15:32:49 作者：互联网

必修第一册同步拔高练习，难度3颗星！

模块导图

知识剖析

基本不等式

若$a>0$,$b>0$，则$a+b \geq 2 \sqrt{a b}$
(当且仅当$a=b$时，等号成立).
(1)$\dfrac{a+b}{2}$叫做正数$a ,b$的算术平均数，
$\sqrt{a b}$叫做正数$a ,b$的几何平均数.
(2)基本不等式的几何证明

(当点$D、O$重合，即$a=b$时，取到等号)
(3)运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是$a>0$,$b>0$；二定指的是$ab$是个定值，三等指的是不等式中取到等号.

基本不等式及其变形

$\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} \leq \dfrac{a+b}{2} \leq \sqrt{\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}}$
(当且仅当$a=b$时等号成立)
(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)
以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.
①$a+b \geq 2 \sqrt{a b}$，积定求和；
②$a b \leq\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{2}$，和定求积：
③$a^{2}+b^{2} \geq \dfrac{(a+b)^{2}}{2}$(联系了$a+b$与平方和$a^2+b^2$)
④$a b \leq \dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}$(联系了$ab$与平方和$a^2+b^2$)

对勾函数

1 概念形如$y=x+\dfrac{a}{x}(a>0)$的函数.
2 图像

3 性质
函数图像关于原点对称，
在第一象限中，当$0<x<\sqrt{a}$时，函数递减，
当$x>\sqrt{a}$时，函数递增.
4 与基本不等式的关系
由图很明显得知当$x>0$时，$x=\sqrt{a}$时取到最小值$y_{\min }=2 \sqrt{a}$，
其与基本不等式$x+\dfrac{a}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \dfrac{a}{x}}=2 \sqrt{a}$($x=\sqrt{a}$时取到最小值)是一致的.

经典例题

【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解

情况1 一正：$a>0 ,b>0$**求函数$y=x+\dfrac{1}{x}(x<0)$的最值.

【误解】$x+\dfrac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \dfrac{1}{x}}=2$，故最小值是$2$.

【误解分析】误解中套用基本不等式，$a=x$，$b=\dfrac{1}{x}$，当忽略了$a>0,b>0$的前提条件！

【正解】$∵x<0$$\therefore-x>0,-\dfrac{1}{x}>0$，
$\therefore-x+\left(-\dfrac{1}{x}\right) \geq 2 \sqrt{-x \cdot\left(-\dfrac{1}{x}\right)}=2$(当$x=-1$取到等号)
$\therefore x+\dfrac{1}{x}=-\left(-x-\dfrac{1}{x}\right) \leq-2$，
故函数$y=x+\dfrac{1}{x}(x<0)$的最大值为$-2$，没有最小值.

情况2 二定：$ab$定值
求函数$y=x+\dfrac{1}{x-1}(x>1)$的最值.
【误解】$y=x+\dfrac{1}{x-1} \geq 2 \sqrt{x \cdot \dfrac{1}{x-1}}$
【误解分析】套用基本不等式$a=x$，$b=\dfrac{1}{x-1}$，满足$a、b$均为正数，但是最后求不出最值，因为$a b=x \cdot \dfrac{1}{x-1}$不是一定值.
【正解】$y=x+\dfrac{1}{x-1}=x-1+\dfrac{1}{x-1}+1\geq 2 \sqrt{(x-1) \cdot \dfrac{1}{x-1}}+1=3$.(当$x=2$时取到等号)
${\color{Red}{ (通过凑项得到定值"(x-1) \cdot \dfrac{1}{x-1}=1 ")}}$
故函数$y=x+\dfrac{1}{x-1}(x>1)$的最小值为$2$，没有最大值.

情况3 三等：取到等号
求函数$y=\dfrac{x^{2}+5}{\sqrt{x^{2}+4}}$的最值.
【误解】$y=\dfrac{x^{2}+5}{\sqrt{x^{2}+4}}=\dfrac{x^{2}+4+1}{\sqrt{x^{2}+4}}$$=\sqrt{x^{2}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}$$\geq 2 \sqrt{\sqrt{x^{2}+4} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}}=2$，即最小值为$2$.
【误解分析】在误解中把$a=\sqrt{x^{2}+4}$，$b=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}$，
满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若$a=b$，则$\sqrt{x^{2}+4}=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}$$\Rightarrow \sqrt{x^{2}+4}=1 \Rightarrow x^{2}=-3$显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明$\text { 月 } \sqrt{x^{2}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}>2$，那它有最小值么？
【正解】$y=\dfrac{x^{2}+5}{\sqrt{x^{2}+4}}=\dfrac{x^{2}+4+1}{\sqrt{x^{2}+4}}$$=\sqrt{x^{2}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}$，
令$t=\sqrt{x^{2}+4}$，则$t≥2$，
因为对勾函数$y=t+\dfrac{1}{t}$在$[2 ,+∞)$上单调递增，
当$t=2$时，取得最小值$\dfrac{5}{2}$.
故$y=\dfrac{x^{2}+5}{\sqrt{x^{2}+4}}$的最小值为$\dfrac{5}{2}$，无最大值.

【题型二】基本不等式运用的常见方法

方法1 直接法

【典题1】设$x>0$、$y>0$、$z>0$，则三个数$\dfrac{1}{x}+4 y$，$\dfrac{1}{y}+4 z$，$\dfrac{1}{z}+4 x$(　　)
A．都大于$4$
B．至少有一个大于$4$
C．至少有一个不小于$4$
D．至少有一个不大于$4$
【解析】假设三个数$\dfrac{1}{x}+4 y<4$且$\dfrac{1}{y}+4 z<4$且$\dfrac{1}{z}+4 x<4$，
相加得$\dfrac{1}{x}+4 x+\dfrac{1}{y}+4 y+\dfrac{1}{z}+4 z<12$，
由基本不等式得$\dfrac{1}{x}+4 x \geq 4$，$\dfrac{1}{y}+4 y \geq 4$，$\dfrac{1}{z}+4 z \geq 4$；${\color{Red}{(直接使用基本不等式) }}$
相加得$\dfrac{1}{x}+4 x+\dfrac{1}{y}+4 y+\dfrac{1}{z}+4 z \geq 12$，与假设矛盾；
所以假设不成立，三个数$\dfrac{1}{x}+4 y$，$\dfrac{1}{y}+4 z$，$\dfrac{1}{z}+4 x$至少有一个不小于$4$．
故选：$C$．
【点拨】本题利用了反证法求解，当遇到“至少”“至多”等的字眼可考虑反证法：先假设，再推导得到矛盾从而证明假设不成立.

【典题2】设$x>0,y>0$，下列不等式中等号能成立的有(　　)
①$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(y+\dfrac{1}{y}\right) \geq 4$；
②$(x+y)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right) \geq 4$；
③$\dfrac{x^{2}+9}{\sqrt{x^{2}+5}} \geq 4$；
④$x+y+\dfrac{2}{\sqrt{x y}} \geq 4$；
A．$1$个 B．$2$个 C．$3$个 D．$4$个
【解析】$\because x>0, \quad y>0$，$\therefore x+\dfrac{1}{x} \geq 2, y+\dfrac{1}{y} \geq 2$，
当$x=y=1$时取到"="，所以①成立，
$(x+y)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \geq 4$，
当$x=y$时取到"="，显然②成立，
$\dfrac{x^{2}+5+4}{\sqrt{x^{2}+5}}=\sqrt{x^{2}+5}+\dfrac{4}{\sqrt{x^{2}+5}}$，
运用基本不等式不能取等号，此时$x^2+5=4$，显然不成立，
$x+y+\dfrac{2}{\sqrt{x y}} \geq 2 \sqrt{x y}+\dfrac{2}{\sqrt{x y}} \geq 4$，
当$x=y=1$时成立，
故正确的有三个，故选：$C$．
【点拨】
① 直接使用基本不等式求解最值时，一是要做到“一正二定三等”，二是要选择适当的式子充当"$a ,b$".
② 连等问题
本题中④$x+y+\dfrac{2}{\sqrt{x y}} \geq 2 \sqrt{x y}+\dfrac{2}{\sqrt{x y}} \geq 4$，当$x=y=1$时成立，
这里连续用到基本不等式，这要注意连等问题，即要确定两个等号是否能同时取到，
$x+y \geq 2 \sqrt{x y}$是当$x=y$时取到等号，$2 \sqrt{x y}+\dfrac{2}{\sqrt{x y}} \geq 4$是当$xy=1$时取到等号，
即要同时满足方程组$\left\{\begin{array}{c} x=y \\ x y=1 \end{array}\right.$()才行，而方程组()有解$x=y=1$，
即$x+y+\dfrac{2}{\sqrt{x y}} \geq 4$是成立的，当$x=y=1$取到等号.
再看一例子：设$x,y∈R^*$,$x+y=1$，求$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(y+\dfrac{1}{y}\right)$的最小值.
误解1：$\because x+\dfrac{1}{x} \geq 2$，$y+\dfrac{1}{y} \geq 2$，$\therefore\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(y+\dfrac{1}{y}\right) \geq 4$.
误解2：$\because\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(y+\dfrac{1}{y}\right)=x y+\dfrac{1}{x y}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$\geq 2 \sqrt{x y \cdot \dfrac{1}{x y}}+2 \sqrt{\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{x}}=4$.
以上两种解法问题在哪里呢？

【典题3】已知实数$a，b$满足$ab>0$，则$\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{a}{a+2 b}$的最大值为$\underline{\quad \quad}$.
【解析】$\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{a}{a+2 b}=\dfrac{a(a+2 b-a-b)}{(a+b)(a+2 b)}$=\dfrac{a b}{a^{2}+3 a b+2 b^{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{2 b}{a}+3}{\color{Red}{ (分子、分母均为二次项同除ab)}}∵ab>0$，$\therefore \dfrac{a}{b}+\dfrac{2 b}{a} \geq 2 \sqrt{2}$，当且仅当$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2 b}{a} \Rightarrow a=\sqrt{2} b$时取等号， $\therefore \dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{2 b}{a}+3} \leq \dfrac{1}{2 \sqrt{2}+3}=3-2 \sqrt{2}$，
故最大值为$3-2 \sqrt{2}$．
【点拨】要用基本不等式的直接法求解需要寻找“乘积为定值的两个式子”，比如$x$与$\dfrac{1}{x}$，$\dfrac{a}{b}$与$\dfrac{2 b}{a}$，$2 \sqrt{x y}$与$\dfrac{2}{\sqrt{x y}}$之类的.

方法2 凑项法

【典题1】若$x>1$，则函数$y=4 x+\dfrac{1}{x-1}$的最小值为$\underline{\quad \quad}$.
【解析】$y=4 x+\dfrac{1}{x-1}$=4(x-1)+\dfrac{1}{x-1}+4$\geq 2 \sqrt{4}+4=8$，当且仅当$x=\dfrac{3}{2}$时取等号．
$∴$函数$y=4 x+\dfrac{1}{x-1}$的最小值为$8$．
【点拨】把$4x$凑项成$4(x-1)$，目的是使得$4(x-1)$与$\dfrac{1}{x-1}$的乘积为定值.

【典题2】若$x>1$，则$2 x+\dfrac{9}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}$的最小值是$\underline{\quad \quad}$．
分析：$2x$、$\dfrac{9}{x+1}$、$\dfrac{1}{x-1}$三项都不能乘积为定值，而与$\dfrac{9}{x+1}$、$\dfrac{1}{x-1}$乘积为定值的分别是$x+1$与$x-1$，而它们的和刚好是$2x$，故想到令$2x=(x+1)+(x-1)$，完成凑项.
【解析】
$2 x+\dfrac{9}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}$=x+1+\dfrac{9}{x+1}+x-1+\dfrac{1}{x-1}\geq 2 \sqrt{(x+1) \cdot \dfrac{9}{(x+1)}}+2 \sqrt{(x-1) \cdot\left(\dfrac{1}{x-1}\right)}=8$当且仅当$x+1=3$，$x－1=1$，即$x=2$时取等号， ${\color{Red}{ (用了两次基本不等式，要注意是否能同时取到等号) }}$
故$2 x+\dfrac{9}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}$的最小值是$8$.

【典题3】设$a>b>0$，则$a b+\dfrac{4}{b^{2}}+\dfrac{1}{b(a-b)}$的最小值是$\underline{\quad \quad}$
【解析】$∵a>b>0$，$∴a-b>0$；
$\therefore a b+\dfrac{4}{b^{2}}+\dfrac{1}{b(a-b)}$
$=a b-b^{2}+\dfrac{1}{b(a-b)}+b^{2}+\dfrac{4}{b^{2}}$
${\color{Red}{ (这里巧妙地"-b^2+b^2 "完成凑项) }}$
$=\left[b(a-b)+\dfrac{1}{b(a-b)}\right]+\left[b^{2}+\dfrac{4}{b^{2}}\right]$
$\geq 2 \sqrt{b(a-b) \times \dfrac{1}{b(a-b)}}+2 \sqrt{b^{2} \times \dfrac{4}{b^{2}}}=2+4=6$．
当且即当$b(a-b)=\dfrac{1}{b(a-b)}$且$b^{2}=\dfrac{4}{b^{2}}$，即$a=\dfrac{3 \sqrt{2}}{2}$，$b=\sqrt{2}$时取等号，$\therefore a b+\dfrac{4}{b^{2}}+\dfrac{1}{b(a-b)}$的最小值为$6$.

方法3 凑系数

【典题1】若$0<a<\dfrac{1}{2}$，则$a(1-2a)$的最大值是$\underline{\quad \quad}$．
【解析】$∵0<a<\dfrac{1}{2}$，$∴a>0$且$1-2a>0$，
则$a(1-2 a)=\dfrac{2 a(1-2 a)}{2}$\leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2 a+1-2 a}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{8}$，
当且仅当$2a=1-2a$,即$a=\dfrac{1}{4}$时等号成立，
即$a(1-2a)$的最大值为$\dfrac{1}{8}$.
【点拨】基本不等式的变形$a b \leq\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{2}$，和定求积(若$a+b$为定值，可求$ab$的最值).
本题中$a+(1-2a)$不是定值，故通过凑系数，使得$2a+(1-2a)=1$为定值从而求出最值.
本题仅是二次函数最值问题，这里重在体会下“和定求积”.

【典题2】已知$a ,b$为正数，$4a^2+b^2=7$，则$a \sqrt{1+b^{2}}$的最大值为$\underline{\quad \quad}$．
【解析】因为$4a^2+b^2=7$，
则$a \sqrt{1+b^{2}}=\dfrac{1}{2}(2 a) \sqrt{1+b^{2}}$\leq \dfrac{1}{2} \times \dfrac{(2 a)^{{2}+\left(\sqrt{1+b}{2}}\right)^{2}}{2}$=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4 a^{2}+1+b^{2}}{2}=2$，
${\color{Red}{ (这里用到了不等式ab \leq \dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}，遇到二次根式可利用平方去掉根号)}}$
当且仅当$4 a^{2}=1+b^{2}$时，取得最大值．
【点拨】
① 不等式$ab \leq \dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}$把$ab$，$a^2+b^2$两者联系在一起，知和$a^2+b^2$为定值，可求积$ab$的最值.
② 平时做题要多注意常见二元关系：倒数和、积、和、平方和，能够灵活使用以下不等式能够达到快速解题的效果.
$\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} \leq \dfrac{a+b}{2} \leq \sqrt{\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}}$(当且仅当$a=b$时等号成立)

方法4 巧“1”法

【典题1】已知$x>0$，$y>0$，$x+y=2$，则$\sqrt{x}+\sqrt{y}$的最大值是$\underline{\quad \quad}$．
【解析】$\because x+1 \geq 2 \sqrt{x}$，$y+1 \geq 2 \sqrt{y}$(当$x=y=1$时取到等号)
${\color{Red}{(加“1” 巧妙的把x与\sqrt{x}， y与\sqrt{y}联系起来) }}$
相加得$x+y+2 \geq 2 \sqrt{x}+2 \sqrt{y}$
即$2(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \leq 4 \Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y} \leq 2$，故最大值为$2$.

【典题2】已知$x>0$，$y>0$，$\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=2$，则$x+2y$的最小值是$\underline{\quad \quad}$．
【解析】$∵\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=2$$\therefore \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1$
$x+2 y=(x+2 y) \cdot 1=\dfrac{1}{2}(x+2 y)\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)$=\dfrac{1}{2}\left(2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{4 y}{x}+2\right) \geq \dfrac{1}{2}\left(4+2 \sqrt{\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{4 y}{x}}\right)=4$，当且仅当$\dfrac{x}{y}=\dfrac{4 y}{x}$时，即$x=2,y=1$时等号成立，故$x+2y$的最小值为$4$.
【点拨】本题的方法很多，比如消元法、换元法等，但属巧"1"法最简洁了！

【典题3】设$a>2$，$b>0$，若$a+b=3$，则$\dfrac{1}{a-2}+\dfrac{1}{b}$的最小值为$\underline{\quad \quad}$．
【解析】若$a+b=3$，则$(a-2)+b=1$，
${\color{Red}{ (凑项再利用巧"1"法) }}$
则$\dfrac{1}{a-2}+\dfrac{1}{b}=\left(\dfrac{1}{a-2}+\dfrac{1}{b}\right) \times[(a-2)+b]$=2+\left(\dfrac{b}{a-2}+\dfrac{a-2}{b}\right)$，又由$a>2$,$b>0$，则$\dfrac{b}{a-2}+\dfrac{a-2}{b} \geq 2 \sqrt{\dfrac{b}{a-2} \cdot \dfrac{a-2}{b}}=2$，当$a=\dfrac{5}{2}, b=\dfrac{1}{2}$时取到等号，则$\dfrac{1}{a-2}+\dfrac{1}{b}=2+\left(\dfrac{b}{a-2}+\dfrac{a-2}{b}\right) \geq 4$，即$\dfrac{1}{a-2}+\dfrac{1}{b}$的最小值为$4$.

方法5 换元法

【典题1】若$x>1$，则$y=\dfrac{x-1}{x^{2}+x-1}$的最大值为$\underline{\quad \quad}$.
【解析】令$t=x-1$，则$x=t+1$，$t>0$，
原式$=\dfrac{t}{(t+1)^{2}+(t+1)-1}$=\dfrac{t}{t^{2}+3 t+1}=\dfrac{1}{t+\dfrac{1}{t}+3}$\leq \dfrac{1}{2 \sqrt{t \cdot \dfrac{1}{t}+3}}=\dfrac{1}{5}$，
当且仅当$t=1$即$x=2$时等号成立.
故$y=\dfrac{x-1}{x^{2}+x-1}$的最大值为$\dfrac{1}{5}$.
【点拨】本题是属于求函数$y=\dfrac{a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}}{a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}}$的最值问题，它常用到基本不等式或对勾函数，换元法是常见手段.

【典题2】若$a,b∈R^*$，$a+b=1$，则$\sqrt{a+\dfrac{1}{2}}+\sqrt{b+\dfrac{1}{2}}$的最大值$\underline{\quad \quad}$.
【解析】设$s=\sqrt{a+\dfrac{1}{2}}$，$t=\sqrt{b+\dfrac{1}{2}}$
${\color{Red}{ (遇到二次根式，用换元法达到去掉根号的目的)}}$
则$a=s^{2}-\dfrac{1}{2}$，$b=t^{2}-\dfrac{1}{2}$
$∵a+b=1$$∴s^2+t^2=2$
${\color{Red}{(这相当已知s^2+t^2=2求s+t的最大值，想到算术均值≤平方和均值\dfrac{a+b}{2} \leq \sqrt{\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}}) }}$
$\therefore \dfrac{s+t}{2} \leq \sqrt{\dfrac{s^{2}+t^{2}}{2}}=1 \Rightarrow s+t \leq 2$
即$\sqrt{a+\dfrac{1}{2}}+\sqrt{b+\dfrac{1}{2}} \leq 2$，故最大值为$2$.
【点拨】
① 本题本来是“已知$a+b=1$求$\sqrt{a+\dfrac{1}{2}}+\sqrt{b+\dfrac{1}{2}}$的最大值 (1)”，通过换元法后变成
“已知$s^2+t^2=2$求$s+t$的最大值 (2)”.显然问题(2)比问题(1)看起来更舒服些，故换元法就能把问题的表示形式转化为令人“顺眼”些.
你说$\dfrac{\sqrt{a+\dfrac{1}{2}}+\sqrt{b+\dfrac{1}{2}}}{2}$\leq \sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{a+\dfrac{1}{2}}\right)^{{2}+\left(\sqrt{b+\dfrac{1}{2}}\right)}{2}}{2}}$=\sqrt{\dfrac{a+\dfrac{1}{2}+b+\dfrac{1}{2}}{2}}=1$\Rightarrow \sqrt{a+\dfrac{1}{2}}+\sqrt{b+\dfrac{1}{2}} \leq 2$不更简洁？
是的，它们的解法本质是一样的，换元法本质是“整体思想”.用上换元法更容易找到解答思路.
② 本题还有其他的解法，可多思考体会下数学思维的魅力！

【典题3】设$a、b$是正实数，且$a+2b=2$，则$\dfrac{a^{2}}{a+1}+\dfrac{4 b^{2}}{2 b+1}$的最小值是$\underline{\quad \quad}$.
【解析】令$a+1=s$，$2b+1=t$，则$a=s-1$，$2b=t-1$；
$\therefore \dfrac{a^{2}}{a+1}+\dfrac{4 b^{2}}{2 b+1}$=\dfrac{(s-1)^{{2}}{s}+\dfrac{(t-1)}{2}}{t}$=s+t-4+\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{t}$
${\color{Red}{(以上纯是运算，没太大难度，作到这就相当于“已知s+t=4，求\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{t}最小值”，较易想到巧“1”法) }}$
$=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{t}\right)(s+t)=\dfrac{1}{4}\left(2+\dfrac{t}{s}+\dfrac{s}{t}\right)$\geq \dfrac{1}{4}\left(2+2 \sqrt{\dfrac{t}{s} \cdot \dfrac{s}{t}}\right)=1$．当且仅当$s=t=2$即$a=1, b=\dfrac{1}{2}$取到等号，即$\dfrac{a^{2}}{a+1}+\dfrac{4 b^{2}}{2 b+1}$的最小值是$1$.

【点拨】本题再次让你体验到换元法能把问题转化为更简单的形式，本题是分母“换元”，“宁愿分子复杂些，也想分母简单些”就这么朴素的想法！

方法6 不等式法

【典题1】已知$a ,b∈(0,+∞)$，且$1+\dfrac{2}{a b}=\dfrac{9}{a+b}$，则$a+b$的取值范围是$\underline{\quad \quad}$.
${\color{Red}{分析 }}$：$1+\dfrac{2}{a b}=\dfrac{9}{a+b}$相当是“关于$ab$与$a+b$的方程”，而由基本不等式$a+b \geq 2 \sqrt{a b}$又确定了“关于$ab$与$a+b$的不等关系”，那用“消元思想”不就得到$a+b$的不等式么？！其范围就有了！
【解析】$∵a ,b∈(0,+∞)$，$\therefore a+b \geq 2 \sqrt{a b} (*)$，
$a+b \geq 2 \sqrt{\dfrac{2(a+b)}{9-(a+b)}}$，
整理可得，$(a+b)^2－9(a+b)+8≤0$，
解得$1≤a+b≤8$.

【典题2】已知$2a+b+2ab=3$，$a>0$，$b>0$，则$2a+b$的取值范围是$\underline{\quad \quad}$.
【解析】$∵a>0，b>0$，$\therefore 0<2 a b \leq \dfrac{(2 a+b)^{2}}{4}$
${\color{Red}{ (这要确定2ab与2a+b的关系，想法与上题相似，利用2ab与2a+b的等式关系与不等关系最终得到关于2a+b的不等式)}}$
而$3-(2a+b)=2ab$
$\therefore 0<3-(2 a+b) \leq \dfrac{(2 a+b)^{2}}{4}$，
解得$2≤2a+b<3$，
$∴2a+b$的取值范围是$[2,3)$．

巩固练习

1(★★) 已知$a+b+c=2$，则$ab+bc+ca$与$2$的比较　　．

2(★★) 已知$x，y∈R^+$，若$x+y+xy=8$，则$xy$的最大值为$\underline{\quad \quad}$．

3(★★) 若$x，y∈R^+$，且$\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{y}=5$，则$3x+4y$的最小值是$\underline{\quad \quad}$
4(★★)函数$y=\dfrac{x^{2}+x-5}{x-2}(x>2)$的最小值为$\underline{\quad \quad}$．

5(★★)已知实数$a、b$,$ab>0$，则$\dfrac{a b}{a^{2}+b^{2}+a^{2} b^{2}+4}$的最大值为$\underline{\quad \quad}$

6(★★) [多选题]下列说法正确的是(　　)
A．$x+\dfrac{1}{x}(x>0)$的最小值是$2$
B．$\dfrac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{2}+2}}$的最小值是$\sqrt{2}$
C．$\dfrac{x^{2}+5}{\sqrt{x^{2}+4}}$的最小值是$2$
D．$2-3 x-\dfrac{4}{x}$的最大值是$2-4 \sqrt{3}$

7(★★★)[多选题]设$a>0$，$b>0$，且$a+2b=4$，则下列结论正确的是(　　)
A．$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$的最小值为$\sqrt{2}$
B．$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}$的最小值为$2$
C．$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}$的最小值为9/4
D．$\dfrac{b}{a+1}+\dfrac{a}{b+1}>\dfrac{8}{7}$恒成立

8(★★★)若实数$m$，$n>0$，满足$2m+n=1$，以下选项中正确的有(　　)
A．$mn$的最小值为$\dfrac{1}{8}$
B．$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}$的最小值为$4 \sqrt{2}$
C．$\dfrac{2}{m+1}+\dfrac{9}{n+2}$的最小值为$5$
D．$4m^2+n^2$的最小值为$\dfrac{1}{2}$

9(★★★) 已知正实数$a，b$满足$a+b=1$，则$\dfrac{2 a^{2}+1}{a}+\dfrac{2 b^{2}+4}{b}$的最小值为$\underline{\quad \quad}$

10(★★★) 若正数$x、y$满足$x+4y-xy=0$，则$\dfrac{4}{x+y}$的最大值为$\underline{\quad \quad}$

11(★★★) 已知$0<a<1$，则$\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{4}{a}$的最小值是$\underline{\quad \quad}$．

12(★★★) 已知$a，b∈R$，$a+b=2$，则$\dfrac{1}{a^{2}+1}+\dfrac{1}{b^{2}+1}$的最大值为$\underline{\quad \quad}$．

13(★★★) 若正数$a，b$满足$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1$，则$\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{4 b}{b-1}$的最小值为$\underline{\quad \quad}$．

14(★★★★) 已知实数$a>0$，$b>－2$，且满足$2a+b=1$，则$\dfrac{2 a^{2}+1}{a}+\dfrac{b^{2}-2}{b+2}$的最小值是$\underline{\quad \quad}$．

15(★★★★) 已知$x>0$，$y>0$，则$\dfrac{2 x y}{x^{2}+8 y^{2}}+\dfrac{x y}{x^{2}+2 y^{2}}$的最大值是$\underline{\quad \quad}$．

16(★★★★)设实数$x,y$满足$\dfrac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$，则$3x^2-2xy$的最小值是$\underline{\quad \quad}$.

挑战学霸
方程$\left(x^{2018}+1\right)\left(1+x^{2}+x^{4}+\cdots+x^{2016}\right)=2018 x^{2017}$的实数解的个数为$\underline{\quad \quad}$．

答案

1.$ab+bc+ca<2$
2.$2$
3.$5$
4.$7$
5.$\dfrac{1}{6}$
6.$AB$
7.$BC$
8.$D$
9.$11$
10.$\dfrac{4}{9}$
11.$9$
12.$\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}$
13.$9$
14.$\dfrac{5}{3}$
15.$\dfrac{2}{3}$
16.$6+4 \sqrt{2}$
挑战学霸:$1$

标签：基本,geq,right,不等式,dfrac,sqrt,quad,left
来源： https://www.cnblogs.com/zhgmaths/p/15850020.html