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WC2022「dmy杂题选讲」笔记

作者:互联网


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DP 状态设计

求"满足某种条件的子串/子序列"的长度和、个数。

若无思路可以先考虑如何判断合法,再试图通过 DP 求得答案。

Stars

一颗星星可以抽象成 K 维空间中的一个整点。称若干星星构成的集合S
是奇妙的,当且仅当存在 K 维空间中的整点 P(P
处可以有星星也可以没有),P 与 S 中的每颗星星至少有一维坐标相同。

有一个长度为 N 的星星序列 A,请你求出所有奇妙子段的长度之和。

\(N \le 10^5\) , \(K \le 5\)

如何判断合法:

对于一个串,枚举 \(1\)   \(K\) 的排列
\(P\),每次检查一个数时,若其无法被已有的各坐标匹配, 则取出 \(P\)
的第一个数 \(t\)(讲师称之为"锦囊")后删去 ,将当前数的 \(t\)
坐标加入匹配坐标内。 若对所有 \(P\) 已空且串仍未匹配完则不合法。

做法:

DP,设 \(f_{i,S}\) 为从第 \(i\) 位开始,锦囊顺序为 \(S\) (也就是上文的 \(P\)
),合法的最远右端点。

机房讨论得出结果如下

考虑转移:我们知道点 \(i\) 处一定使用了锦囊 \(S_1\)
,那么考虑将此位删去,即将 \(S_1\) 的使用延后。 枚举中途使用的锦囊个数 \(j\)
,找到最近的一个只能被 \(S_1\) 匹配(与 \(i\) )的点,将 \(S_1\) 插入到 \(S_j\)
后,意即在此时使用锦囊 \(S_1\) ,如此可以保证锦囊的使用与从 \(i\)
开始是相同的。

「PA 2021」Od deski do deski

有 \(n\) 棵树,每棵树有可能是 \(m\) 种之一。

小 C 每天可以选择连续的一段树砍掉:要求这一段的长度至少是
\(2\),并且第一棵与最后一棵种类相同。

问有多少种初始局面,使得存在一种方法通过若干天将树砍光。对 \(10^9 + 7\)
取模。

\(n \le 3000, m \le 10^9\)

如何判断合法:

若该局面可被划分成若干段,每段都符合砍掉的条件,则合法。
因为任意两次砍树不会相交,也不会包含(可将被包含者忽略)。

具体地,将树的种类看成颜色,设 \(dp_{i}=0/1\) 为前 \(i\)
位是否能被划分,可从前面与 \(i\) 颜色相同的点转移过来。 那么我们设 \(S\)
为前面每个合法划分后面所跟的颜色,即为当前 \(i\) 所能选的颜色。

做法:

设 \(f_{i,j,0/1}\) 为前 \(i\) 位 是/否 一个合法划分,\(i+1\) 可用颜色个数有
\(j\) 个 时的方案数。

转移显然。

DP 优化技巧

观察性质/简化

AGC044E

圆上有 \(N\) 个点,你初始随机出生在一个点。

第 \(i\) 号点有属性 \(A_i\), \(B_i\)。如果你当前处在 \(i\) 号点,你可以选择结
束游戏并获得 \(A_i\) 元,或者花费 \(B_i\) 元将自己随机移动到左右两
点中的一个。

求最优策略的期望收益。收益为得到的钱减付出的钱。

输出实数,绝对或相对误差在 1e-10 以内即算正确。

\(N <= 2 \times 10^5, 1 <= A_i <= 10^{12}, 1 <= B_i <= 100\)

容易联想到一道题:「USACO18DEC」Balance Beam
P
(gmoj「鱼戏团表演」)

那道题的转移是
\(f_i=\max\left(A_i , \frac{1}{2}(f_{i-1} + f_{i+1})\right)\) ,看成 \(n\)
个二位数点 \((i,f_i)\),可以通过维护上凸壳解决。 回看这道题,转移是
\(f_i=\max\left( A_i , \frac12(f_{i-1}+f_{i+1}) - B_i \right)\) ,这个
\(B_i\) 就很碍事。

考虑设 \(T_i = f_i + C_i\) ,\(C_i\) 是未知的常数, 满足上式的形式(无
\(B_i\)), 那么有

\[f_i + C_i =\max \left( A_i , \frac12 \left( f_{i-1}+C_{i-1} + f_{i+1}+C_{i+1} \right) - B_i\right) \]

\[f_i =\max \left( A_i - C_i, \frac12 \left( f_{i-1}+C_{i-1} + f_{i+1}+C_{i+1} \right) - B_i - C_i\right) \]

为了去除 \(B_i\) 的影响,则有
\(C_{i-1}+C_{i+1} = 2 \left( B_i + C_i \right)\) 。

由于本题在环上,可考虑破环成链,那么元的数量是比方程数量多 \(2\)
的,于是可钦定两值,递推求出剩余,一个位置对应两点取 \(f\) 较大值即可。

构造

总结

标签:10,right,选讲,合法,WC2022,le,dmy,锦囊,left
来源: https://www.cnblogs.com/Kelvin2005/p/15847053.html