康托展开

有n个数\(1\sim n\)，显然，我们知道，其有\(n!\)种排列。那么，从小到大排序这些排列，能否求出，某个排列是第几个？第x个是什么？
解决上述两个问题，我们分别就要用到康托展开和逆康托展开。

康托展开

康托展开能够计算出：对于一个1到n的排列\(\left\{a_1,a_2,a_3,…,a_n\right\}\)，比它小的排列有多少个。
举个例子，假设\(n=4\)，给定的排列是\(\left\{2,3,1,4\right\}\)（后简称为A）。那么，由于排序是逐位比较的，所以我们也逐位分析：比A小的排列是从哪一位开始比A小的？

1. 第一位是2，比2小的数只有1，所以以1为开头的所有排列一定比A小，共有\(1\times 3!=6\)种（1表示只有1一种情况比2小，\(4!\)表示后面三个数字可以任意排列的方案数）；
2. 第二位是3，比3小的数有1,2，又因为2在第一位，故只有一种情况1，即这种情况下只有以2,1开头才能比A小，共\(1\times 2!=2\)种；
3. 第三位是1，没有比1小的数了，所以不可能存在排列，使得从第三位开始才小于A，故有\(0\times1!=0\)种；
4. 第四位是4，比4小的有1,2,3，但是它们在前几位都被用了，所以也不存在，共\(0\times0!=0\)种。

共\(6+2+0+0 = 8\)个排列比A小，故A是第9名。

所以，我们可以推出对于任意一个排列，有多少个排列比它小：

\[X = \sum\limits_{i=1}^{n}sum_{a_i}\times(n-i)! \]

其中\(sum_{a_i}\)表示\(a_i\)后面有多少个数小于它，即\(sum_{a_i} = \sum\limits_{j=i}^{n}{(a_j<a_i)}\)
解释如下：
逐位比较，从这一位

逆康托展开

标签：排列,sum,times,康托,展开,逐位
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