模拟退火笔记（详细）
作者：互联网
别着急，干货在最后面！！！（本文用c++实现）
很多人都学过贪心，但是贪心在一些情况并不适用，比如：
已知我们从黄色出发，找最小值。
贪心策略当然是一直往函数大小减小的地方偏移——但是，万一不是单峰呢？我们会陷入如图的蓝色中无法自拔。
肯能你会想到：随机找一个点出发，然后贪心找最小值？多随机几遍，然后求全局最小值？
你会发现复杂度暴增！！！！！！！！——所以如何处理这种问题呢？
模拟退火：啊，对对对~
是的！模拟退火就是一种类似于随机化贪心的一个算法，在OI界也小有名气（冥器）！（如题[NOIP2021] 方差 ）
原理图：
如图：在物理应用中分子排布可能是紊乱的，如果我们将它升温然后缓慢降温，就可以生成完美的晶形！
所以我们立刻（啊，对对对~）能设定模拟退火的参数：
1.初始温度 T （1000-7000）
2.末尾温度 P（1e-5~1e-15）
3.降温系数 K (0.91~0.9975)
4.状态空间（被降温物体） S
5.当前能量 E ( new )
6.全局能量 E （ old ）
一：Metropolis准则 - 以概率接受新状态：
这就是物理（化学）方面类似的推论——一定概率的更新。
什么意思呢？
我们已知：当前能量 E ( new ) ， 全局能量 E （ old ），那么我们的目标是什么，不就是减少目前的能量吗？
所以：当当前能量少于全局能量（即更新前的能量），那么我们有概率为 1 的更新概率；
当当前能量大于全局能量（即更新前的能量），那么我们有概率为 exp（ - (E( new )-E( old ))/T） 的更新概率 ( T为当前温度) ；
注意：有时候也不一定以以上方式更新，这只是比较妥的做法，概率方面是可以自己定的，但是一定以当前能量与全局能量的关系来设定的。（除非直接暴力的随机算法）
二：
那么怎么生成新的当前温度呢？，以生成小数为例：
当前将更新温度=全局温度+(rand()*2-RAND_MAX)*t;
if(不在状态空间内){
当前将更新温度=fmod(当前将更新温度,状态空间大小)
}
即：在当前状态的邻域结构内以一定概率方式（均匀分布、正态分布、指数分布等）产生。
三：温度更新函数
若固定每一温度，算法均计算至平稳分布，然后下降温度，则称为时齐算法；
若无需各温度下算法均达到平稳分布，但温度需按一定速率下降，则称为非时齐算法。
本人用的：
T*=K;
四：内循环终止准则
本人使用的：
(t>1e-15)//可以改大一点
其他常用方法：
（1）设置终止温度的阈值。
（2）设置外循环迭代次数。
（3）算法搜索到的最优值连续若干步保持不变。
（4）概率分析方法。
五：实现流程图：
注意：以下是我自己总结的退火口诀：
初始温度小心设(1000-3000)，又粗又大wa一脸
多次sa更保险，忘了卡时直接T[if((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC>=0.993)]
退火系数大胆设，不过0.9975会很厄
全局、状态不一样，全局必须菊部优
百年骗分一场空，不开srand见祖宗
退火需谨慎，退火不规范，灵封两行泪
然后是[NOIP2021]方差的实现（玄学万岁）：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N=1e5+10;
const double dw=0.9975;
int a[N],n,c[N];
long long ans;
bool cmp(int a,int b){
return a>b;
}
LL en(){
LL em=0;
LL ranss=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
a[i]=a[i-1]+c[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
em+=(long long)a[i]*a[i];
}em=(long long)em*n;
for(int i=1;i<=n;i++){
ranss=(long long)ranss+a[i];
}ranss=(long long)ranss*ranss;
return (long long)(em-ranss);
}
void sa(){
double t=1000;
while(t>1e-15){
if((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC>=0.993){
cout<<ans;
exit(0);
}
int x=rand()%(n-1)+2,y=rand()%(n-1)+2;
while(x==y)x=rand()%(n-1)+2;
swap(c[x],c[y]);
LL m=en(),dt=ans-m;
if(dt>0){
ans=m;
}else if((double)rand()>=(double)RAND_MAX*(double)exp((double)dt/t)){
swap(c[x],c[y]);
}
t*=dw;
}
}
int main(){
srand((unsigned)time(0));
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
c[i]=a[i]-a[i-1];
}
sort(c+2,c+n/2+1,cmp);
sort(c+n/2+1,c+n+1);
ans=en();
while(1)sa();
}
标签：int,double,笔记,模拟退火,更新,详细,能量,全局,温度 来源： https://www.cnblogs.com/qq1391197588/p/15844740.html