P4119 [Ynoi2018] 未来日记
作者：互联网
P4119 [Ynoi2018] 未来日记
有一个长为 \(n\) 的序列 \(a\)，有 \(m\) 次操作：
- 把区间 \([l,r]\) 内所有的 \(x\) 变成 \(y\)。
- 查询区间 \([l,r]\) 内第 \(k\) 小值。
\(1 \leq n,m,a_i \leq 10^5\)，时限 \(1.00\text{s}\)，空限 \(512\text{MB}\)。
sol
最初分块。
难度评分：\(8.5\)。
下面先假定 \(V\) 为值域。
先看查询区间第 \(k\) 大。
可以维护每个数在区间内出现了多少次。
这个可以用一个二维的 \(sum\) 数组维护：\(sum[i][j]\) 表示前 \(i\) 块中 \(j\) 出现的次数。
这样区间内一个数 \(x\) 出现的次数就是中间整块 \(sum\)的两个前缀和相减，再加上两边散块的出现次数，散块的出现个数可暴力。
然而这样时间复杂度为 \(\mathcal O(nV)\)，无法通过。
考虑优化。
考虑再加上值域分块。
首先预处理 \(cnt1[i][j]\) 表示前 \(i\) 块中在第 \(j\) 块值域的数出现次数，\(cnt2[i][j]\) 表示前 \(i\) 块中 \(j\) 出现次数。
预处理 \(\mathcal{O}(n \sqrt{n})\)。
这样查询的时候，整块用 \(cnt1\) 和 \(cnt2\) 处理，散块用桶维护一下即可，单次时间复杂度为 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\)。
再看修改。
散块暴力即可。
再考虑并查集，记 \(id[x][i]\) 为第 \(x\) 块中第一个值为 \(i\) 的数的下标。
同时其逆也记下，记 \(rid[x][i]\) 表示第 \(x\) 块中下标 \(i\) 对应的值。
再用 \(pos_i\) 记录每一位的 \(id\)。（\(i\) 是序列上位置）
如果要还原序列，只需让 \(a_i=rid[bl_i][pos_i]\)。
再分情况讨论。
- 块内无 \(x\)，跳过。
- 块内有 \(x\) 无 \(y\)，可将 \(id[bl][y]=id[bl][x]\)，同时 \(rid[bl][id[bl][x]]=y\)，记得 \(id[bl][x]=0\)。
- 块内有 \(x,y\)， 考虑此时块内权值种类少 \(1\)， 而权值种类总共不超过 \(n+m\)， 均摊后暴力重构复杂度总和为 \(\mathcal O((n+m)\sqrt{n})\)， 暴力重构即可，对于两个 \(cnt\) 数组的更新，可以先将其差分为每块的，最后再合并，一次 \(O(\sqrt{n})\)。
总时间和空间复杂度为 \(\mathcal O((n+m)\sqrt {n})\)。
总结：分块套分块，加套路并查集。
\(\text{5.97s / 202.38MB / 6.29KB C++98 O2}\)。
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
namespace Fread
{
const int SIZE = 1 << 21;
char buf[SIZE], *S, *T;
inline char getchar()
{
if (S == T)
{
T = (S = buf) + fread(buf, 1, SIZE, stdin);
if (S == T)
return '\n';
}
return *S++;
}
}
namespace Fwrite
{
const int SIZE = 1 << 21;
char buf[SIZE], *S = buf, *T = buf + SIZE;
inline void flush()
{
fwrite(buf, 1, S - buf, stdout);
S = buf;
}
inline void putchar(char c)
{
*S++ = c;
if (S == T)
flush();
}
struct NTR
{
~NTR()
{
flush();
}
} ztr;
}
#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getchar
#define putchar Fwrite::putchar
#endif
inline int read()
{
int x = 0, f = 1;
char c = getchar();
while (c < '0' || c > '9')
{
if (c == '-')
f = -1;
c = getchar();
}
while (c >= '0' && c <= '9')
{
x = x * 10 + c - '0';
c = getchar();
}
return x * f;
}
inline void write(int x)
{
if (x < 0)
{
putchar('-');
x = -x;
}
if (x > 9)
write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
const int N = 1e5 + 7, SQ = 620;
int n, m, a[N], len, bl[N], L[N], R[N], sum1[SQ], sum2[N];
int id[SQ][N], rid[SQ][N], pos[N];
int cnt1[SQ][SQ], cnt2[SQ][N];
inline void build(int x)
{
int tot = 0;
for (int i = 1; i <= len; ++i)
id[x][rid[x][i]] = 0;
for (int i = L[x]; i <= R[x]; ++i)
if (!id[x][a[i]])
{
id[x][a[i]] = ++tot;
rid[x][tot] = a[i];
}
for (int i = L[x]; i <= R[x]; ++i)
pos[i] = id[x][a[i]];
}
inline void rest(int x)
{
for (int i = L[x]; i <= R[x]; ++i)
a[i] = rid[x][pos[i]];
}
inline void cg(int l, int r, int x, int y)
{
for (int i = l; i <= r; ++i)
if (a[i] == x)
{
--cnt1[bl[l]][bl[x]], ++cnt1[bl[l]][bl[y]];
--cnt2[bl[l]][x], ++cnt2[bl[l]][y];
a[i] = y;
}
}
inline void change(int i, int x, int y)
{
id[i][y] = id[i][x];
rid[i][id[i][x]] = y;
id[i][x] = 0;
}
inline void modify(int l, int r, int x, int y)
{
if (x == y || cnt2[bl[r]][x] - cnt2[bl[l] - 1][x] == 0)
return;
for (int i = bl[n]; i >= bl[l]; --i)
{
cnt2[i][x] -= cnt2[i - 1][x];
cnt2[i][y] -= cnt2[i - 1][y];
cnt1[i][bl[x]] -= cnt1[i - 1][bl[x]];
cnt1[i][bl[y]] -= cnt1[i - 1][bl[y]];
}
if (bl[l] == bl[r])
{
rest(bl[l]), cg(l, r, x, y);
build(bl[l]);
for (int i = bl[l]; i <= bl[n]; ++i)
{
cnt2[i][x] += cnt2[i - 1][x];
cnt2[i][y] += cnt2[i - 1][y];
cnt1[i][bl[x]] += cnt1[i - 1][bl[x]];
cnt1[i][bl[y]] += cnt1[i - 1][bl[y]];
}
return;
}
rest(bl[l]), rest(bl[r]);
cg(l, R[bl[l]], x, y), cg(L[bl[r]], r, x, y);
build(bl[l]), build(bl[r]);
for (int i = bl[l] + 1; i < bl[r]; ++i)
{
if (!cnt2[i][x])
continue;
if (cnt2[i][y])
{
rest(i), cg(L[i], R[i], x, y);
build(i);
}
else
{
cnt1[i][bl[y]] += cnt2[i][x];
cnt1[i][bl[x]] -= cnt2[i][x];
cnt2[i][y] = cnt2[i][x];
cnt2[i][x] = 0;
change(i, x, y);
}
}
for (int i = bl[l]; i <= bl[n]; ++i)
{
cnt2[i][x] += cnt2[i - 1][x];
cnt2[i][y] += cnt2[i - 1][y];
cnt1[i][bl[x]] += cnt1[i - 1][bl[x]];
cnt1[i][bl[y]] += cnt1[i - 1][bl[y]];
}
}
inline int kth(int l, int r, int k)
{
int sum = 0;
if (bl[l] == bl[r])
{
rest(bl[l]);
for (int i = l; i <= r; ++i)
sum2[i] = a[i];
std::nth_element(sum2 + l, sum2 + l + k - 1, sum2 + r + 1);
int ans = sum2[l + k - 1];
for (int i = l; i <= r; ++i)
sum2[i] = 0;
return ans;
}
rest(bl[l]), rest(bl[r]);
for (int i = l; i <= R[bl[l]]; ++i)
{
++sum1[bl[a[i]]];
++sum2[a[i]];
}
for (int i = L[bl[r]]; i <= r; ++i)
{
++sum1[bl[a[i]]];
++sum2[a[i]];
}
for (int i = 1; i <= (N - 1) / len + 1; ++i)
if (sum + sum1[i] + cnt1[bl[r] - 1][i] - cnt1[bl[l]][i] >= k)
{
for (int j = (i - 1) * len + 1; j <= i * len; ++j)
if (sum + sum2[j] + cnt2[bl[r] - 1][j] - cnt2[bl[l]][j] >= k)
{
for (int i = l; i <= R[bl[l]]; ++i)
{
--sum1[bl[a[i]]];
--sum2[a[i]];
}
for (int i = L[bl[r]]; i <= r; ++i)
{
--sum1[bl[a[i]]];
--sum2[a[i]] = 0;
}
return j;
}
else
sum += sum2[j] + cnt2[bl[r] - 1][j] - cnt2[bl[l]][j];
}
else
sum += sum1[i] + cnt1[bl[r] - 1][i] - cnt1[bl[l]][i];
}
int main()
{
n = read(), m = read();
len = sqrt(n * 8 / 5);
for (int i = 1; i < N; ++i)
bl[i] = (i - 1) / len + 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
a[i] = read();
for (int i = 1; i <= bl[n]; ++i)
L[i] = (i - 1) * len + 1, R[i] = i * len;
R[bl[n]] = n;
for (int i = 1; i <= bl[n]; ++i)
build(i);
for (int x = 1; x <= bl[n]; ++x)
{
for (int i = 1; i <= bl[N - 1]; ++i)
cnt1[x][i] = cnt1[x - 1][i];
for (int i = 1; i < N; ++i)
cnt2[x][i] = cnt2[x - 1][i];
for (int i = L[x]; i <= R[x]; ++i)
++cnt1[x][bl[a[i]]], ++cnt2[x][a[i]];
}
for (int i = 1, opt, l, r, x, y; i <= m; ++i)
{
opt = read(), l = read(), r = read();
if (opt == 1)
{
x = read(), y = read();
modify(l, r, x, y);
}
else
{
x = read();
write(kth(l, r, x));
putchar('\n');
}
}
return 0;
}
标签：Ynoi2018,bl,SQ,P4119,id,int,cnt2,cnt1,日记 来源： https://www.cnblogs.com/orzz/p/15844671.html