ATC ** 练习

2022-01-23 18:33:21 作者：互联网

要正视自己的 ** ，所以。。。

题意：

给定一个 \(n\ (n \ge 6)\)，构造一个 \(n\times n\) 的矩阵，由 . 和 # 组成，这个矩阵满足：

每行每列都有且仅有 \(3\) 个 # 。
定义两个 # 在上下左右四个方向相连则为连通，若 \(a\) 和 \(b\) 连通，\(b\) 和 \(c\) 连通，那么 \(a\) 和 \(c\) 也连通。满足这个矩阵中由 # 连通组成的连通块数量恰好为 \(n\) 。

由于要满足行和列两个方向的信息，所以考虑按对角线对称构造，然后通过不停的奋斗，搞出了这种东西。

##.#......
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.#.##.....
#.#..#....
..#..##...
...##..#..
....#..##.
.....##..#
......#.##
.......###

当然，这是偶数的，奇数的长这样：

##.#.......
###........
.#.##......
#.#..#.....
..#..##....
...##..#...
....#..##..
.....##.#..
......#..##
.......#.##
........###

然后正解是对于 \(n \% 3\) 的结果分类。

对于 \(n = 3k\) 的时候，构造：

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......###
###......
...###...
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###......
...###...
......###

然后是 \(n = 3k + 1\) ，考虑在 \(n = 3k\) 的基础上构造：

          3
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 ...###....
 ......###.
 ###.......
 ...###....
 ......###.
 ###.......
 ...###....
 ......###.
3..........

然后就是从上面扣下来三个，最后只能多一个连通块，然后就变成下面的样子：

###.......
...###....
......###.
##.......#
...##....#
.......###
###.......
...###....
......###.
..#..##...

但是对于 \(n = 7\) 要特判。

然后是 \(n = 3k - 1\) ，考虑从上面的 \(n = 3k\) 删去最后一行和一列。

       11
 ###.....
 ...###..
1......##
 ###.....
 ...###..
1......##
 ###.....
 ...###..

然后在这些 1 在行列方向相互对出的点上选两个 # 就好了，但是这上面已经有 # 了。

然后有一个非常迷惑的操作：

#.
.#

变成

.#
#.

每行每列的数量是不变的，然后构造：

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...##.#.
.....###
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...##.#.
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标签：###.....,连通,ATC,......###.,练习,3k,###.......,...###....
来源： https://www.cnblogs.com/Ax-Dea/p/15836950.html