24 置换基本概念(markdown版)

​一 互换与轮换

  要了解群论，置换必不可少。而且置换在生活、工作中也非常常见。虽然说置换，有点小儿科，但是确实是数学里的重要内容。排列、组合和置换三者缺一不可。不能只学排列组合而不学置换。置换是对集合上的元素进行位置互换。这是对现实世界各种位置互换的抽象。现实中有很多置换的例子，比如击鼓传花游戏、华容道、滑块游戏、魔方、推箱子游戏、工厂的传送带、流水线等等。但是有些游戏，不是置换，比如象棋的吃子，就是替换，不是置换，那就是另一类数学问题。置换与排列密不可分。
  简单的置换分为两种：互换与轮换。

  同样，由简单到复杂。先由1 2 3 4 四个数字开始。

  首先是两两互换，所以这是个C(4,2)组合，所以有6种互换,如下

  1、2互换，1、3互换，1、4互换， 2、3互换， 2、4互换 ，3、4互换

  上面六个式子里的数字代表位置。

  轮换呢，就是几个位置，首位相连，形成一个环，每个位置把自身的元素移动到下一个位置。比如1、2、3轮换就是位置1上的元素移动到了位置2，位置2的元素移动到了位置3，位置3的元素移到了位置1。这对应了数学里循环排列的概念。互换其实是最小的轮换。所有的置换都可以表示为轮换或轮换的组合，这个划重点记哈，是学习置换的基础。但是还有一类置换，就是什么都不改变，类似数字的0，叫恒等置换。
  因为置换的作用对象是某个排列，所以可以说置换是个一元运算符，也可以说置换是一个函数，也可以说置换是一个映射，也可以说置换是一种作用。
  置换怎么表示呢？
  如果用(1,2)这样的写法来表示置换，容易和线性代数里的向量搞混了，所以不能那么表示，标准的做法是空格隔开位置，外面加一对括号，然后数字代表位置。所以互换的写法如下：
   ( 1    2 ) 、 ( 1    3 ) 、 ( 1    4 ) 、 ( 2    3 ) 、 ( 2    4 ) 、 ( 3    4 ) (1\;2) 、(1\;3)、 (1\;4)、 (2\;3) 、 (2\;4)、 (3\;4) (12)、(13)、(14)、(23)、(24)、(34)
  多个元素的轮换，比如1、2、3的轮换记为 ( 1    2    3 ) (1\;2\;3) (123)。当然， ( 1    2    3 ) (1\;2\;3) (123)也可以写 ( 2    3    1 ) (2\;3 \;1) (231)，因为1、2、3这3个顺序首位相连，形成一个环，以谁开始都无所谓。但是要注意里面不能有重复的位置，比如(1 2 1 4)这种就是不合法的置换，因为出现了1，2和1，4，这就有歧义了，位置1上的元素到底是移动到位置2，还是位置4呢？
  再考虑更复杂的置换的组合的写法
  比如(1 2)接着(1 3)怎么表示呢？
  群论里可以用加号+，也可以用乘号*，点号·，来表示“接着做”这个二元运算。伽罗瓦是推荐用乘号的，为了致敬伽罗瓦，我也用乘号，也可以省略乘号。而写的顺序就是按操作或执行顺序写
  所以(1 2)接着(1 3)写成(1 2)·(1 3)或 (1 2)(1 3)
  因为用的是乘号表达，所以(1 2 3)，再(1 2 3)就可以表示为二次方，就写成(1 2 3)2。
  那么反向轮换，就可以表示为-1次方，就写成(1 2 3)-1
  为了简洁，写轮换时，最好将最小的数字写在第一个位置。
  置换作用在排列上就直接把置换当成一个特殊函数，用函数的写法就行，比如对[A,B, C, D]这个字母的排列进行1、2、3轮换就可以这样写
   [ A , B , C , D ] ( 1    2    3 ) = [ C , A , B , D ] [A,B ,C ,D](1\;2\;3)=[C,A,B,D] [A,B,C,D](123)=[C,A,B,D]
  注意：数学里{}表示集合，是没有顺序的，而[]表示排列（计算机界叫列表），是有顺序的。排列写前面，置换写后面意思是对排列进行置换。
  按照伽罗瓦的习惯，什么都不改变记为单位元e。
  可以做个小练习
  1 计算如下置换
   [ 精 , 忠 , 报 , 国 ] ( 1    4    2    3 ) [精,忠,报,国](1\;4\;2\;3) [精,忠,报,国](1423)
  答案是[报,国,忠,精]
  2 原排列是[国,精,忠,报]，目前状态是[精,忠 ,报, 国],置换表达式是什么
  答案是(1 4 3 2)
  思考题：
  能不能用置换表示一个排列？
  答案：不能，除非指定初始排列。指定了初始状态的置换才能表示一个排列。

二 置换交换律与结合律

  那么继续探索置换是否符合交换律。
  以置换(1 3) (1 2)作用于(1 2 3 4)这个排列为例子：
[ 1 , 2 , 3 , 4 ] ( 13 ) = [ 3 , 2 , 1 , 4 ] ∴ [ 1 , 2 , 3 , 4 ] ( 13 ) ( 12 ) = [ 3 , 2 , 1 , 4 ] ( 12 ) = [ 2 , 3 , 1 , 4 ] [1,2,3,4] (1 3)= [3, 2, 1, 4]\\ ∴ [1, 2, 3, 4](1 3)(1 2)=[3, 2 ,1 ,4](1 2)=[2 ,3 ,1 ,4] [1,2,3,4](13)=[3,2,1,4]∴[1,2,3,4](13)(12)=[3,2,1,4](12)=[2,3,1,4]
  注意，因为计算顺序是先计算(1 3)，再计算(1 2)，所以写法是 [1 ,2 ,3 ,4](1 3) (1 2) ，实际上要先计算[1 ,2, 3, 4](1 3) ，得到结果再执行(1 2)。
  而[2 ,3 ,1 ,4]是(1 3 2)这个轮换作用于[1 ,2 ,3, 4]这个排列的结果，所以(1 3) (1 2) = (1 3 2)。
  而经过运算我们得知，(1 2)(1 3)=(1 2 3)≠(1 3 2),所以置换不符合交换律
  再来看，无共同位置的置换叠加，也就是类似这种 ( 12 ) ( 34 ) (1 2) (3 4) (12)(34)
  而这种置换是符合交换律的，因为两次置换互相独立。只有部分场景符合交换律，不能说置换这个运算符合交换律。
  那么置换符不符合结合律？
  肯定是符合的，因为假设有三次置换。先做前两次置换的组合运算，再做第三次置换。先做第一次置换，再做后两次置换的组合，效果都是顺序三次置换。
  正因为这样才有了置换的化简。

三 置换的化简方法
首先可以把置换进行以下的分类，大类是三类e、轮换和轮换组合。

类型	举例	描述
e	e	什么都不做，也叫恒等置换
轮换	(1 2)	互换
	(1 2 3)	两个以上的元素轮换
轮换组合	(1 2) (3 4)	各组之间没有相同位置、符合交换律,所以各组轮换的顺序可以任意调整
	(1 2)(2 3)	各组之间存在相同位置，不符合交换律，所以在写法上不能调整轮换的顺序

  置换的化简就是把轮换组合变成互相独立的轮换组合。这样做的目的是为了更方便计算，比如下面这个置换：

( 1423 ) ⋅ ( 1432 ) ⋅ ( 123 ) ⋅ ( 132 ) (1 4 2 3)· (1 4 3 2) ·(1 2 3)·(1 3 2) (1423)⋅(1432)⋅(123)⋅(132)
  这就非常复杂，让人根本不知道进行了什么。
  实际执行之后，和以下的置换结果是一样的
  (1 3 4)
  所以可以写成
  (1 4 2 3)· (1 4 3 2) ·(1 2 3)·(1 3 2)= (1 3 4)
  那么怎么化简啊？
  其实很简单，但是要仔细。以上面的式子为例子：
  首先看，1、2、3、4 四个位置都参与了置换
  就一个个来，首先看位置1
  (1 4 2 3) 位置1移动到了位置4
  (1 4 3 2) 位置4移动到了位置3
  (1 2 3)位置3移动到了位置1
  (1 3 2)位置1移动到了位置3
  所以最终位置1移动到了位置3
  再看位置2
  (1 4 2 3) 位置2移动到了位置3
  (1 4 3 2) 位置3移动到了位置2
  (1 2 3)位置2移动到了位置3
  (1 3 2)位置3移动到了位置2
  所以最终位置2不改变
  再看位置3
  (1 4 2 3) 位置3移动到了位置1
  (1 4 3 2) 位置1移动到了位置4
  (1 2 3)和(1 3 2)不影响位置4
  所以最终位置3移动到了位置4
  再看位置4
  (1 4 2 3) 位置4移动到了位置2
  (1 4 3 2) 位置2移动到了位置1
  (1 2 3)位置1移动到了位置2
  (1 3 2)位置2移动到了位置1
  所以最终结果是：
  位置1移动到了位置3
  位置2不改变
  位置3移动到了位置4
  位置4移动到了位置1
  那么最终化简之后，就是(1 3 4)
  总结一下，就是以下几步：
  1 找出所有发生改变的位置
  2 对每个位置，从第一个轮换开始，到最后一个轮换结束，跟踪变化，记录最终位置
  3 将起始位置和最终位置变成置换表达式
  学废了吗？
  化简后的置换表达式，如果是轮换组合，则这些组合是无关联的。
  上面的计算方法很繁琐，我推荐一个矩阵连线法手动计算非常方便快捷。这个手动计算方法来自国内一本介绍李群的电子书。还是刚刚的例子：
(1 4 2 3)· (1 4 3 2) ·(1 2 3)·(1 3 2)
写出一个矩阵(严格来讲不能叫矩阵，因为矩阵不能残缺啊，哈哈)
1 4 2 3
1 4 3 2
1 2 3
1 3 2
再连线

  每个数字去连接下面行的下一个位置，但是不要忘了最后一行的计算
  所以有
  1 连线到1，再下一个位置为3
  3连线到1，再下一个位置为4
  4连线到2，再下一个位置1
  2连线到3，再下一个位置为2，不变
  所以结果为(1 3 4)

四 轮换的乘方计算方法

  所谓乘方，就是同样的轮换，重复几次

  我可以用图形来表示，下图是轮换(1 2 3 4 5 6 7 8)前的状态

  这个图是轮换后的状态

  嗨，就是轮换一次转了1/8个圆周呗。转8次就转回原来位置呗。所以理解轮换，就是脑中想象一个圆盘，形成一个轮，然后就豁然开朗。
  根据上面介绍的化简方法，计算轮换的乘方，就非常简单了。
  比如这个复杂的轮换
( 1    11    4    2    3    8    5    12    6    10    7    9 ) (1\;11\;4\;2\;3\;8\;5\;12\;6\;10\;7\;9) (111423851261079)
  重复9次结果为
( 1    10    5    2 ) ⋅ ( 3    11    7    12 ) ⋅ ( 4    9    6    8 ) (1\;10\;5\;2)·(3\;11\;7\;12)·(4\;9\;6\;8) (11052)⋅(311712)⋅(4968)
  那是怎么计算出来的呢？
  先把轮换表达式里的数字进行编号，也就是写出位置的索引

索引	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
位置	1	11	4	2	3	8	5	12	6	10	7	9

  以位置1为例子，轮换1轮，到了位置11，轮换二轮到了位置14，依此类推，第9轮就到了位置10。
  所以可以先对索引做加法

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21

  那么这个索引超出了12，因为是轮换，形成一个轮，那么就需要取余数
  于是下面是取余结果，这就是新旧索引变化表

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
10	11	12	1	2	3	4	5	6	7	8	9

  然后再去原索引表找位置，记录变换后的位置

原位置	1	11	4	2	3	8	5	12	6	10	7	9
原索引	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
新索引	10	11	12	1	2	3	4	5	6	7	8	9
新位置	10	7	9	1	11	4	2	3	8	5	12	6

  删掉中间两行，得到位置变化表

原位置	1	11	4	2	3	8	5	12	6	10	7	9
新位置	10	7	9	1	11	4	2	3	8	5	12	6

  所以置换表达式为
( 1    10    5    2 ) ( 3    11    7    12 ) ( 4    9    6    8 ) (1\;10\;5\;2)(3\;11\;7\;12) (4\;9\;6\;8) (11052)(311712)(4968)
  故(1 11 4 2 3 8 5 12 6 10 7 9)⁹= (1 10 5 2) (3 11 7 12)(4 9 6 8)
  所以计算方法如下：
  1 写下置换表达式各个位置的索引表
  2 根据轮换次数，按模加法（先加再取余数），得到新索引
  3 根据新索引，按索引表取新位置记录下来，得到新旧位置变化表
  4 根据新旧位置变化表写出新的置换表达式
  由此，可以得到三个轮换幂运算的三个规律
  规律一：N个位置的轮换重复N次回到初始状态（常识哈，无需证明）
  脑中想象一个轮在转，转一圈，刚好是N次。
  规律二：N个位置轮换i轮，结果是互相独立的gcd(i,n)组轮换，gcd是最大公约数的意思。
  规律三：轮换的逆运算是其表达式里位置的倒序
  逆运算，写法上就是-1次方。从排列A到排列B，置换是M，从排列B再回到排列A，置换就是M-1.

五 轮换的其他规律

  我们之所以大量研究轮换，无非是一点，轮换太重要了，在置换里占比太多了。先思考一个问题，我们都知道，置换就是三类：零置换、轮换组合、轮换。互换是最小的轮换，不单独考虑。
  规律四：多个位置与同一个位置的置换形成轮换
( a    b ) ( a    c ) ( a    d ) … … ( a    n ) = ( a    b    c    d … … n ) (a\;b) (a\;c)(a\;d)……(a\;n)=(a\;b\;c\;d……n) (ab)(ac)(ad)……(an)=(abcd……n)
  根据置换的化简规则，依次分析
  a 位置到b，后面的表达式里没有了b
  b位置到了a，第二个表达式里位置再到c
  c位置到了a，下一个表达式里到了d，以后再无改变
  此后，每个位置的改变都只出现在两个表达式中
  最后一个元素n，位置到了a
  所以形成了一个a到n的轮换
  这个规律特别重要，可以快捷运算很多式子
  由这个规律可以计算互换与轮换的乘法
  比如下面这两个式子：
( 1    2    3    4    5    6    7    8    9 ) ⋅ ( 5    6 ) = ( 1    2    3    4    6    7      9 ) ( 5    6 ) ⋅ ( 1    2    3    4    5    6    7    8    9 ) = ( 1    2    3    4    5    7    8    9 ) (1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9)·(5\;6)=(1\;2\;3\;4\;6\;7\;\;9)\\ (5\;6)·(1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9)=(1\;2\;3\;4\;5\;7\;8\;9) (123456789)⋅(56)=(1234679)(56)⋅(123456789)=(12345789)
  先分析第一个式子，其实就是对轮换的分解
( 1    2    3    4    5    6    7    8    9 ) = ( 6    7    8    9    1    2    3    4    5 ) = ( 6    7 ) ( 6    8 ) ( 6    9 ) ( 6    1 ) ( 6    2 ) ( 6    3 ) ( 6    4 ) ( 6    5 ) ∴ ( 1    2    3    4    5    6    7    8    9 ) ( 5    6 ) = ( 6    7 ) ( 6    8 ) ( 6    9 ) ( 6    1 ) ( 6    2 ) ( 6    3 ) ( 6    4 ) ( 6    5 ) ( 5    6 ) = ( 6    7 ) ( 6    8 ) ( 6    9 ) ( 6    1 ) ( 6    2 ) ( 6    3 ) ( 6    4 ) = ( 6    7    8    9    1    2    3    4 ) = ( 1    2    3    4    6    7    8    9 ) (1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9)= (6\;7\;8\;9\;1\;2\;3\;4\;5)=\\ (6\;7) (6\;8) (6\;9) (6\;1) (6\;2) (6\;3) (6\;4) (6\;5)\\ ∴(1\;2\;3\;4\;5\;6\;7\;8\;9)(5\;6)\\ = (6\;7) (6\;8) (6\;9) (6\;1) (6\;2) (6\;3) (6\;4) (6\;5) (5\;6)\\ = (6\;7) (6\;8) (6\;9) (6\;1) (6\;2) (6\;3) (6\;4)\\ =(6\;7\;8\;9\;1\;2\;3\;4)\\ =(1\;2\;3\;4\;6\;7\;8\;9) (123456789)=(678912345)=(67)(68)(69)(61)(62)(63)(64)(65)∴(123456789)(56)=(67)(68)(69)(61)(62)(63)(64)(65)(56)=(67)(68)(69)(61)(62)(63)(64)=(67891234)=(12346789)
  第二个式子，也是对轮换的分解
(1 2 3 4 5 6 7 8 9)= (5 6 7 8 9 1 2 3 4)
=(5 6) (5 7) (5 8) (5 9) (5 1) (5 2) (5 3) (5 4)
(5 6)·(1 2 3 4 5 6 7 8 9)= (5 6) (5 6) (5 7) (5 8) (5 9) (5 1) (5 2) (5 3) (5 4)
= (5 7) (5 8) (5 9) (5 1) (5 2) (5 3) (5 4)
=(5 7 8 9 1 2 3 4)
=(1 2 3 4 5 7 8 9)
  规律五：类似以下这种链式置换，结果是顺序轮换的逆运算。
  (a b)(b c)(c d)(d e)(e f)(f g)(g h)= (h g f e d c b a)
  这个规律很容易明白。
  A 会一直下去，到达h的位置
  B 到a的位置，后续互换a再也不出现
  C到了b的位置，后续互换b再也不出现
  ……
  中间过程省略
  一直到最后h互换到了g的位置。
  所以组成了一个倒转的轮换。

六 置换凯来图

  规律六：所有的互换都可以拆分为第一个元素和其他元素的置换。因为(a b)(a c)(a b)= (b c)
  这里b、c的互换，可以通过a为中介做的，这也是凯来图的基础。以四个元素的置换为例子，我们知道所有的24种排列对应24种置换（包括零置换e）。最基础的互换是以下六种
  (1 2) (1 3) (1 4) (2 3) (2 4) (3 4)
  这六种中
  (2 3) (2 4) (3 4)可以拆分为：
  (2 3)=(1 2)(1 3)(1 2)
  (2 4)=(1 2)(1 4)(1 2)
  (3 4)=(1 3)(1 4)(1 3)
  所以，所有24种置换都可以由(1 2) (1 3) (1 4)三种互换生成。而生成关系可以画成一张图，称为凯莱图。这个非常重要，是凯莱图的理论基础。
  首先考虑只有一种置换，那么凯来图很简单，只有两个元素
E 、(1 2)
  只有两种的置换，凯来图是六个元素组成的环。
  如下图

  注意：上图的路径是(1 2)与(1 3)交替进行。
  这个置换凯莱图是更高阶的置换凯莱图的基础，因为更高级的置换是无数个这样的六边形组成的。
  四个元素的凯来图是，也是有多个六边形组成的。但是凯莱图很难画出。因为每个点连接三个六边形。总共24个点。凯来图比较复杂，如下：

  图中
  黑色线条代表(1 2)
  红色线条代表(1 3)
  蓝色线条代表(1 4)
  需要注意的是上图，有几个六边形特别难发现，这长得像核辐射符号。比如：
(1 3 4 2)->(2 3 4)->(1 4 2 3)->(1 4 2)->(2 4)->(1 2)(3 4)
  那么总共有几个六边形呢？
  我们可以这样计算，总共24个节点，每个六边形拥有6个节点。但是每个点属于三个六边形，也就是每个六边形实际上占有两个点。那么就是12个六边形。我们肉眼能直接看到7个六边形加上两个个辐射符号，再加上三个线轴形，也就是12个啊。
  1个正六边形挨着六个不规则六边形
  1个不规则六边形挨着1个正六边形，两个不规则六边形，1个核辐射，两个线轴
  1个核辐射挨着3个不规则六边形，三个线轴
  1个线轴挨着4个不规则六边形，两个核辐射
  超过四元素的置换凯莱图特别复杂，所以用凯莱图计算置换会非常吃力，最好使用代数运算或者数值运算的方法进行计算。
  不过对于大于四元素的置换凯来图也不必要那么慌，可以利用子群的方法去解开。比如从e出发的以(1 2) (1 3)交替前进的就是一个子群。
  这个子群的表示方法为<(1 2) ,(1 3)>。(1 2)和 (1 3)是路径，也叫生成元。那么再看那三个线轴符号，也是红黑两种线组成，这个叫左陪集。左陪集的意思是由非子群内单位元开始，生成的集合。以横着的线轴为例子，用左陪集表示就是(1 2)(3 4)<(1 2),(1 3)>表示以(1 2)(3 4)出发，沿着路径(1 2)和(1 3)往前走，形成一个六边形。
  所以这个复杂的置换群，可以拆分为一个子群和三个左陪集。
  可以这样拆成四个：
< ( 1    2 ) , ( 1    3 ) > ( 1    4 ) < ( 1    2 ) , ( 1    3 ) > ( 2    4 ) < ( 1    2 ) , ( 1    3 ) > ( 3    4 ) < ( 1    2 ) , ( 1    3 ) > <(1\;2),(1\;3)>\\ (1\;4)<(1\;2),(1\;3)>\\ (2\;4)<(1\;2),(1\;3)>\\ (3\;4)<(1\;2),(1\;3)> <(12),(13)>(14)<(12),(13)>(24)<(12),(13)>(34)<(12),(13)>

七 置换代数运算

  置换的代数运算就是去掉表示位置，纯粹用符号运算。以下就是置换代数运算的例子：
( a    b    c ) ⋅ ( a    d ) ⋅ ( a    b    c ) 2 = ( c    d ) ( a    b    c ) 2 ⋅ ( a    d ) ⋅ ( a    b    c ) = ( b    d ) (a\;b\;c)·(a\;d)·(a\;b\;c)^2=(c\;d)\\ (a\;b\;c)^2· (a\;d)·(a\;b\;c)=(b\;d) (abc)⋅(ad)⋅(abc)2=(cd)(abc)2⋅(ad)⋅(abc)=(bd)
  这种运算，只需要把前面介绍的化简方法改成代数符号运算就可以了。
  比如运算 ( a    b    c ) ⋅ ( a    d ) ⋅ ( a    b    c ) 2 (a\;b\;c)·(a\;d)·(a\;b\;c)^2 (abc)⋅(ad)⋅(abc)2
( a    b    c ) ⋅ ( a    d ) ⋅ ( a    b    c ) 2 = ( a    b    c    d ) ( a    b    c ) 2 (a\;b\;c)·(a\;d)·(a\;b\;c)^2 =(a\;b\;c\;d)(a\;b\;c)^2 (abc)⋅(ad)⋅(abc)2=(abcd)(abc)2
  利用乘方计算法则计算
( a    b    c ) 2 = ( a    c    b ) ∴ ( a    b    c    d ) ⋅ ( a    b    c ) 2 = ( a    b    c    d ) ( a    c    b ) (a\;b\;c)^2=(a\;c\;b)\\ ∴(a\;b\;c\;d)·(a\;b\;c)^2 = (a\;b\;c\;d)(a\;c\;b) (abc)2=(acb)∴(abcd)⋅(abc)2=(abcd)(acb)
  再用最原始办法，写出四个元素的位置映射
a − > b − > a b − > c − > b c − > d d − > a − > c a->b->a\\ b->c->b\\ c->d\\ d->a->c\\ a−>b−>ab−>c−>bc−>dd−>a−>c
  所以结果为(c d)
  另一个我就不详细写出了。

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