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• 1 连续小波变换的定义
• 2 Morlet小波

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小波变换可以看成是待分析函数或信号在不同基函数上的分解或表示，小波变换的数值就相当于不同基函数的系数，而小波逆变换则是由这些系数重建原来的函数或信号。

本文以小写字母f(t)、x(t)、ψ(t)等表示源时间变量信号，用相同的字母加上帽子符号“^”表示信号的傅里叶变换，如：

1 连续小波变换的定义

如果函数ψ(t)∈L²(R)满足下述三个条件(公式)：

则称函数ψ(t)为基本小波。

在上图的三个公式中：

1、条件1说明ψ(t)是一个正负交替的函数或振荡的波，其函数值在正负两部分的某种能量相等，使得其平均值等于零。

2、条件2说明ψ(t)是一个“小的波”(small wave或wavelet)，这种振荡波形的主要能量集中在有限的范围内，或者随着自变量的增大波形幅值快速衰减到零。

3、条件3只是为了使小波变换存在逆变换而施加的限制。

满足上述定义的函数或波形就是小波变换中的基本小波，而信号的小波变换一般指将待分析信号f(t)分解到【由基本小波ψ(t)经不同尺度的膨胀或伸缩、再平移到不同位置处所形成的】“子波”簇：

上，最后得到的小波变换结果被称为小波系数，而小波逆变换则是由小波系数重建或恢复原始待分析信号。

设函数ψ(t)是满足上述定义中三个条件的基本小波，对任意信号f(t)∈L²(R)，其连续小波变换(Continuous Wavelet Transform，CWT)定义为(下式简记为式2.2)：

其中，a>0为尺度参数，b为位置参数。而

表示ψ(t)的复共轭。

关于式2.2有以下说明：




连续小波变换有如下性质：

2 Morlet小波

Morlet小波的解析表达式为：

其中归一化参数K：

其归一化傅里叶变换为：

对于上式，当ω为0时有：

对于充分大的ω₀，如ω₀>5时，下式

对ω≤0已经非常小，使得对于数字处理应用来说，ψ_ω0(t)可以作为解析小波。Morlet小波是Gaussian包络下的单频率复正弦函数，下图是w₀=5在区间[-4,4]上纯实部Morlet小波函数的波形与频谱：

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标签：函数,变换,Morlet,小波,信号,性质,定义
来源： https://blog.csdn.net/qq_40061206/article/details/122535482