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托里拆利小号：有关于其的证明

2022-01-14 20:31:33 作者：互联网

介绍

托里拆利小号（Torricelli's Trumpet）是由意大利数学家Evangelista Torricelli所发明的一个表面积无限大但体积有限的三维形状。此形状又被称为加百利号角（Gabriel's Horn），根据宗教传说，天使长加百利吹号角以宣布审判日（Judgment Day）的到来。

意大利数学家托里拆利（Evangelista Torricelli）将 y=1/x 中 x≥1 的部分绕着 x 轴旋转了一圈，得到了上面的小号状图形（注意，图只显示了这个图形的一部分）。然后他算出了这个小号的一个性质——它的表面积无穷大，可它的体积却是 π。这明显有悖于人的直觉：体积有限的物体，表面积却可以是无限的！换句话说，填满整个托里拆利小号只需要有限的油漆，但把托里拆利小号的表面刷一遍，却需要无限多的油漆！这个形状是由比例系数为1的反比例函数（x的域为 $[1,\infty ]$ ）的曲线沿轴旋转而成。

证明

下面我们来用微积分给出证明：

【1】体积

托里拆利小号是一个旋转体。故由公式

$V=\pi \int_{a}^{b}[f(x)]^2dx$

小号体积为广义积分

$V=\pi\int_{1}^{\infty }\left (\frac{1}{x} \right )^2dx$

由Newton-Leibniz公式

$V=\pi(F(b)-F(a))=(-\frac{1}{b})-(-\frac{1}{a})=\lim_{b \to \infty }(-\frac{1}{b})-(-\frac{1}{1})$

反比例函数在x趋于±无穷时收敛到0，则

$V=\pi(0-(-1))=\pi\times 1=\pi$

故原广义积分收敛于1，体积为π乘1=π

【2】表面积

旋转体的表面积

$V=2\pi\int_{b}^{a}f(x)\sqrt{1+(\frac{df}{dx})^2} dx$

带入得

$V=2\pi\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\sqrt{1+(\frac{1}{x})^2`}dx$

$V=2\pi\int_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}{x}dx$

由于x≥1，故

$V=2\pi\int_{1}^{\infty}\sqrt{\frac{1+\frac{1}{x^4}}{x^2}}dx$

$V=2\pi\int_{1}^{\infty}\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{\frac{1}{x^4}}{x^2}}dx$

$V=2\pi\int_{1}^{\infty}\sqrt{\frac{x^4}{x^6}+\frac{1}{x^6}}dx$

$V=2\pi\int_{1}^{\infty}\sqrt{\frac{x^4+1}{x^6}}dx$

$V=2\pi\int_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{x^4+1}}{x^3}dx$

审敛得该广义积分发散，为正无穷

【3】用Python求

使用Sympy库：

pip install Sympy

import sympy as s

x = s.Symbol("x")

#体积
fx = s.pi*(1/x)**2
res = s.integrate(fx,(x,1,s.oo)) #oo代表正无穷
print(res)

运行结果：

表面积

#其他代码略
fx = 2*s.pi*(1/x)*s.sqrt(1+(x**-4))
res = s.integrate(fx,(x,1x,s.oo))

print(res)

运行结果：

标签：表面积,托里,res,体积,小号,拆利
来源： https://blog.csdn.net/qq_52516913/article/details/121866562