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【离散数学】期末不挂科复习笔记

2021-12-30 22:03:40 作者：互联网

【离散数学】期末不挂科复习笔记

和蜂考学的，重要的应该是逻辑和函数这两大板块，图和树就与数据结构挂钩了（大部分都是之前学过的），重点看看各种逻辑的等值演算还有推理！

第一章（命题逻辑的基本概念)

1、命题的概念

如何判断是否是命题：

例题1：

2、命题连接词

①否定（可以理解为非）

②合取（可以理解成交）

③析取（可以理解为并）

④蕴含（可以理解为非p并q）

⑤等价（可以理解为相等）

优先级：

例题1:

3、命题公式及其赋值

成真赋值就是让p蕴含q的值为1，这种情况下p和q的赋值

成假赋值就是让p蕴含q的值为0，这种情况下p和q的赋值

例题1：

我们可以看出图上的式子是可满足式**（注意永真式也是可满足式）**

第二章（命题逻辑等值演算）

1、等值式

常见等值式：（结合数字电路知识点学习~）

重点是(12)，蕴含等值式

例题1：

例题2：

需要注意的是，用等值演算不能直接证明两个公式不等值

例题3：（证明两个公式不等值）

2、析取范式与合取范式

例题1:

例题2：

3、主析取范式与主合取范式

极小项与极大项的概念：

第一张表：

那么什么是主析取范式和主合取范式呢？

例题1：

这里使用的是真值表法

例题2：

引入一个前提：

例题3：

这里使用等值演算法

4、联结词的完备集

最小的联结词完备集就是图上的S4和S5，一定要有非

例题：

第三章（命题逻辑的推理理论)

1、推理的相关公式

推理定义：单项箭头（双向就是等值式了）

明确一点，放在左边的是前提，放在右边的是结论

判断推理正确

推理形式

非常多的推理公式（推理题型的基础)

标黄的是重点

例题1:

例题2:

2、自然推理系统P

例题1:

例题2：

例题3：

附加前提法

例题4:

这里使用了归谬法，可以多引入一个否定的结论

第四章（谓词逻辑基本概念）

1、谓词逻辑命题符号化

谓词逻辑命题符号化的三个基本要素：个体词、谓词、量词（任意、存在）

例题1:

考察谓词

例题2、例题3：

考察量词

例题4、例题5:

考察符号化

2、谓词逻辑公式及其解释

指导变元、辖域、约束出现、自由出现

例题1:

解1、解2：

给出永真式、永假式、可满足式的定义

注意：当多个量词出现的时候，他们的顺序不能随便调换（存在任意和任意存在是不等价的）

例题2：

第五章（谓词逻辑等值演算与推理)

1、谓词逻辑等值式与置换规则

下面给出谓词逻辑中的基本等值式

（1）量词否定等值式

（2）量词辖域收缩与扩张等值式

（3）量词分配等值式

注意：任意和合取一起、存在和析取一起可以双向，反之只能单向

（4）命题逻辑中的重言式的代换都是谓词逻辑中的永真式

例题1：

如果同时出现存在、任意，先消去后面的，从里向外

例题2：

例题3：

2、谓词逻辑前束范式

什么是前束范式？就是所有的存在量词、全称量词写在最前面

谓词逻辑中的任何公式都存在等值的前束范式！

例题1:

例题2：

3、谓词逻辑的推理理论

第六章（集合代数）

1、集合的基本概念

∈ 符号的概念

子集、真子集、x元子集的概念

空集的概念

幂集的概念P(A)，幂集有2的n次方个元素

全集的概念

例题1：

例题2：

2、集合的运算

最基本的交并补

对称差集（并的减交的）、绝对补集（全集减去自己）、广义并（自己的元素相并）、广义交（自己的元素相交）

例题1:

例题2:

3、有穷集的计数

自然语言转化为符号语言

然后画图！

例题：

先画图：

然后根据设出来的值进行补充图像：

接着列方程：

解方程：

包含排斥原理：

发现和概率论中的：**P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)**是一样的！连在一起记忆~

例题2：

4、集合恒等式

就是概率论中的知识点咯

需要记住一个 A - B = A ∩ ~B，其实也很好理解

重要公式：

例题1：

第七章（二元关系1）

1、有序对、笛卡尔积

有序对的第一元素x、第二元素y

例题1:

笛卡尔积不满足交换律

笛卡尔积的元素个数：

笛卡尔积只满足对并、交的分配律运算

2、二元关系

如果一个集合满足下面条件之一就是二元关系：

集合非空，并且它的元素都是有序对
集合是空集

A,B是集合，那么A×B的任何子集所定义的二元关系称作从A到B的二元关系

A上有2的n的平方次方个不同的二元关系

例题1：

例题2：

A上的特殊关系：空关系、全域关系EA、恒等关系IA

表示集合的方法（三种）：集合表达式、关系矩阵、关系图

例题1:

例题2：

3、关系的运算

设R为二元关系，那么有

定义域：R中所有有序对的第一元素构成的集合，记作domR
值域：R中所有有序对的第二元素构成的集合，记作ranR
域：R中定义域和值域的并集，记作fldR
R的逆关系：简称R的逆，记作R的-1次方
设F、G为二元关系，G对F的右复合记作FoG

例题1: (域关系)

例题2：（右复合)

第八章（二元关系2)

1、关系的性质

自反、反自反（所有的有序对都不满足自反）

对称、反对称（所有的有序对都不满足对称）

传递（例如：**R={<1,2><2,3><1,3>}**在一个集合中，那么这个集合具有传递性）

例题1：

反对称是因为，R和R-1向交得到的是空集，空集是IA的子集，有反对称性

例题2：

例题3:(关系图)

例题4:(关系矩阵)

2、关系的闭包

自反（对称、传递）闭包概念

例题1：

原集合本来就是具有传递性的，所以传递闭包就是它自己

3、等价关系与划分

等价的概念：设R是非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的，那么称R为A上的等价关系

例题1：（等价类的例子）

引入商集的概念

划分的概念（pai是P(A)幂集的子集）

简单来说就是，广义并(但不能有交集)是原集合就是一个划分

例题2：（判断划分)

例题3:

有多少种划分，就有多少种等价关系

例题4：

4、偏序关系

如果集合A中的关系R是自反的、反对称的、传递的，那么R是A上的偏序关系

例题1：（哈斯图）

如何画哈斯图？

在这里引入——最大元和最小元的判定：

上一个例题中的解释：

之所以没有最小元是因为在哈斯图同一个阶层的点是不可比的，就没有同阶的最大元和最小元之说~

接下来引入——极大元和极小元的概念解释。

仍然是拿上一个例题出来解释：

需要注意的是，在极小元和极大元的判定中即使在同一阶层也可以相比，没有不可比的概念。

哈斯图中的孤立顶点不仅是极小元也是极大元

接下来引入——上界和上确界的概念：

还是那个例子

接下来引入——下界和下确界的概念：（和上界的概念是类似的）

上界、上确界、下界、下确界是不一定存在的！

第九章（函数）

1、函数的定义与性质

x是F定义域中的元素，y是F值域中的元素

例题1：（判断函数）

简单的对应关系

f:A->B 是从A到B的函数

满射、单射、双射（看图理解）

满射、单射、双射的必要条件（还是很好理解）

例题2:

例题3：

2、函数的复合与反函数

定义如下：

例题1：

复合运算具有结合律

为什么fx在gx里面，其实也很好理解，首先是进行f到g的右复合，那么肯定是首先算括号里的fx，再算gx，所以是如上的形式。

例题2：

接下来引入反函数的概念：（就是数学中的那套）

之所以没有反函数，是因为反过来存在x对应多个y，不满足函数的定义

第十章（图)

1、图

无向图、有向图、图的阶（n个顶点的图称作n阶图）、零图、平凡图

图 G=<V,E>，V是点集，E是边集

端点、关联、相邻

图的度数（顶点作为边的端点的次数）

入度（顶点作为边的始点）d+(v)、出度（顶点作为边的终点）d-(v)

度数 = 入度 + 出度

握手定理：

任何无向图中，所有顶点的度数之和等于边数的两倍
任何有向图中，所有顶点的度数之和等于边数的两倍

所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，都等于边数
推论：任何图中，奇度顶点的个数是偶数个

例题1：

例题2：（度序列）

例题3：（可图化充要条件是度数之和为偶数）

例题4：（简单可图化的充要条件加上了，最大度≤顶点数-1）

无向完全图就是每个顶点对应其余的n-1个顶点相邻

n阶无向完全图边的条数为n(n-1)/2

例题5:

2、通路与回路

通路：无向图中顶点和边的交替序列

回路：交替序列的第一个顶点和最后一个顶点相同

3、图的连通性

连通的概念：如果无向图中2个顶点之间存在通路，那么这两个点就是连通的

连通图的概念：无向图中任意两个顶点都是连通的（或者无向图G是平凡图）
可达的概念：有向图中2个顶点u、v存在通路，那么u到v是可达的

如果u、v存在通路，v、u也存在通路，那么是互相可达
强连通、单项连通、弱连通