斐波那契数列
作者：互联网
如果某个递归，除了初始项之外，具有如下的形式
F(N) = C1 * F(N) + C2 * F(N-1) + … + Ck * F(N-k) ( C1…Ck 和k都是常数)
并且这个递归的表达式是严格的、不随条件转移的
那么都存在类似斐波那契数列的优化，时间复杂度都能优化成O(logN)
棋盘马走日
递归：
public static int ways(int x, int y, int k) {
return f(x, y, k);
}
public static int f(int x, int y, int k) {
if(k == 0) {
return x==0 && y==0 ? 1 : 0;
}
if(x < 0 || x > 9 || y<0 || y>8) {
return 0;
}
return f(x+2, y-1, k-1)
+ f(x+2, y+1, k-1)
+ f(x+1, y+2,k-1)
+ f(x-1, y+2,k-1)
+ f(x- 2, y+1,k-1)
+ f(x - 2, y-1, k-1)
+ f(x-1, y-2,k-1)
+f(x + 1, y-2, k-1);
}
动态规划：
public static int ways2(int x, int y, int k) {
int [][][] dp = new int[10][9][k+1];
dp[0][0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= k; i++) {
for (int j = 0; j < 10; j++) {
for (int j2 = 0; j2 < 9; j2++) {
dp[j][j2][i] = getValue(dp, j+2, j2-1, i-1)
+ getValue(dp, j+2, j2+1, i-1)
+ getValue(dp, j+1, j2+2, i-1)
+ getValue(dp, j-1, j2+2, i-1)
+ getValue(dp, j-2, j2+1, i-1)
+ getValue(dp, j-2, j2-1, i-1)
+ getValue(dp, j-1, j2-2, i-1)
+ getValue(dp, j+1, j2-2, i-1)
;
}
}
}
return dp[x][y][k];
}
public static int getValue(int[][][] dp, int x, int y, int k) {
if(x < 0 || x > 9 || y<0 || y>8) {
return 0;
}
return dp[x][y][k];
}
剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列
写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：
F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
示例 1：
输入：n = 2
输出：1
示例 2：
输入：n = 5
输出：5
提示：
0 <= n <= 100
方法一：递归（时间超限），通过优化可以AC
方法二：动态规划
方法三：矩阵快速幂，递推：
public int fib(int n) {
if(n==0)return 0;
if(n==1||n==2)return 1;
int[][]base={
{1,1},
{1,0}
};
int [][] res = matrixPower(base,n-1);
return res[0][0];
}
public int[][]matrixPower(int [][] m, int temp){
int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}};
while(temp!=0){
// 如果对应二进制位为1 则乘进去
if((temp&1)!=0){
ret = muliMatrix(ret, m);
}
m = muliMatrix(m, m);
temp>>=1;
}
return ret;
}
public static int[][] muliMatrix(int[][] a, int[][] b) {
int[][] c = new int[2][2];
for (int i = 0; i < 2; i++) {
for (int j = 0; j < 2; j++) {
c[i][j] = (int) (((long) a[i][0] * b[0][j] + (long) a[i][1] * b[1][j]) % 1000000007);
}
}
return c;
}
上楼问题
一个人可以一次往上迈1个台阶，也可以迈2个台阶
返回这个人迈上N级台阶的方法数
第n阶可以从n-1阶台阶到达，也可以从n-2阶台阶到达：
F（n）= F（n-1）+ F（n-2）
若一个人一次可以上k步，p步，m步
求到N级台阶
F（n）= f（n-k）+ f（n-p）+ f（n-m）
矩阵为 max（k，p，m） * max（k，p，m）
母牛问题
第一年农场有1只成熟的母牛A，往后的每年：
1）每一只成熟的母牛都会生一只母牛
2）每一只新出生的母牛都在出生的第三年成熟
3）每一只母牛永远不会死
返回N年后牛的数量
n年的牛由n-1年牛的个数+n-3年牛个数（满三年都生一只小牛）
F（n）=F（n-1）+F（n-3）
字符问题
给定一个数N，想象只由0和1两种字符，组成的所有长度为N的字符串
如果某个字符串,任何0字符的左边都有1紧挨着,认为这个字符串达标
返回有多少达标的字符串
n位数，最左边一位为1有：F（n-1）种方法；最左边为0则倒数第二位必须为1，则有F（n-2）种方法
F（n）=F（n-1）+F（n-2）
标签：return,数列,int,斐波,那契,public,母牛 来源： https://www.cnblogs.com/ltaodream/p/15748790.html