关于二分图
作者：互联网
概念
对于 \(E\) 的一个子集 \(E'\)，如果 \(E’\) 中的任意两条边没有共用的端点，那么称 \(E'\) 是二分图 \(G\) 的一个匹配。
二分图 \(G\) 的所有匹配中，边数最多的称为最大匹配。
如果匹配 \(E’\) 中的边涉及了图 \(G\) 的所有顶点，称为图 \(G\) 的一个完美匹配。
\(V'\) 是图 \(G\) 的点集 \(V\) 的一个子集，如果 \(V’\) 满足 \(G\) 的任意一条边都有至少 \(1\) 个端点在 \(V’\) 中，称 \(V’\) 是图 \(G\) 的一个点覆盖。
图G的所有点覆盖中，规模最小的称为最小点覆盖。
p.s. 以下证明可能过于 yy，不喜勿喷。
\(\mathrm {proof\ 1}\)。
对于任意非最大匹配 \(E'\)，存在从某个新点出发的增广路。
你考虑现在存在点 \(x\)，在最大匹配中 \(x\) 应被选中，但现在还没被匹配。
从 \(x\) 开始跑交错树。有两种情况：1. 找到了对面部一个没匹配的点。2. 只能找到自己部一个匹配了的点。
对于情况 \(2\)，虽然匹配数量不会增加，但我们的图确是慢慢向最大匹配的图靠近了的。所以情况 \(1\) 一定会出现。（？
\(\mathrm {proof\ 2}\)。
在二分图中，最小点覆盖的规模等于最大匹配。
咕。
标签：二分,匹配,覆盖,关于,proof,任意,mathrm 来源： https://www.cnblogs.com/Kidulthood/p/15742832.html