这里写目录标题

• Dot Product (scalar 的similarity)
• • 使用的一些情况
• Dot-product-like(matrix 的similarity)
• • The projection of b onto a
  • 使用的一些情况
• Cross Product (different)
• Cross Product (Area)
• Orthogonality (Orthogonality)

Dot Product (scalar 的similarity)

a = [ a 1 , a 2 ]   b = [ b 1 , b 2 ] a . b = [ a 1 , a 2 ] . [ b 1 , b 2 ] = a 1 b 1 + a 2 b 2 a = [a_1, a_2] \space b = [b_1, b_2] \newline a.b = [a_1, a_2] .[b_1, b_2] = a_1b_1+a_2b_2 a=[a1​,a2​] b=[b1​,b2​]a.b=[a1​,a2​].[b1​,b2​]=a1​b1​+a2​b2​

乘法的顺序和规则与数字的一样

使用的一些情况

单个vector与自己做dot product的结果是这个vector的length（也叫做norm 或者 magnitude）的平方
a . a = a 1 2 + a 2 2 = ∣ ∣ a ∣ ∣ 2 a.a ={a_1^2} + {a_ 2^2} = ||a||^2 a.a=a12​+a22​=∣∣a∣∣2

如果想知道a与b的dot product结果，但不知道具体的vector坐标怎么办？
a . b = ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣ c o s θ a.b=||a|| ||b|| cos\theta a.b=∣∣a∣∣∣∣b∣∣cosθ

cosine 角度为0时，cosine的结果为1正（波峰）。意味a,b vector同处于一个相同方向， a,b的dot product 结果也正。

cosine角度为 π \pi π 时，cosine的结果为-1负（波谷）。意味a,b vector 处于不同的两个方向， a,b的dot product 结果为负。

cosine角度为 π / 2 \pi/2 π/2 时，cosine的结果为0（穿过原点）。意味a,b vector 方向互为垂直， a,b的dot product 结果为0。

根据 Cauchy-Schwarz Inequality, dot product 的结果小于或等于vector 的 length （norm/magnitude）相乘
$|a.b| <= ||a|| |b|| $

Dot-product-like(matrix 的similarity)

The projection of b onto a

测量vectors相互运动有多好，类似于vectors之间的similarity，这里要用 “doto-product-like” 测量方式。这个方式返回vector （matrix）而不是一个scalar

a . b a.b a.b : 测量“how well b travels in the direction of a”, 这里是测量“b”以“a” 为目标

( a . b ) . a (a.b).a (a.b).a: preserving information about the direction
因为研究的是direction和length无关，为了减少length的影响，上述公式被优化(使用normalisation)成： a . b ∣ ∣ a ∣ ∣ a ∣ ∣ a ∣ ∣ ˙ \frac{a.b}{||a||}\dot \frac{a}{||a||} ∣∣a∣∣a.b​∣∣a∣∣a​˙​

a . b ∣ ∣ a ∣ ∣ a ∣ ∣ a ∣ ∣ ˙ \frac{a.b}{||a||}\dot \frac{a}{||a||} ∣∣a∣∣a.b​∣∣a∣∣a​˙​ = a . b a . a a \frac{a.b}{a.a} a a.aa.b​a = P r o j a b Proj_ab Proja​b

使用的一些情况

用于计算点到线的距离

Cross Product (different)

$$
a = [a_1, a_2] \space
b = [b_1, b_2] \newline
a.b = [a_1, a_2,a_3] \times [b_1, b_2,b_3]

=[a_ab_3 - a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1]
$$

Cross Product (Area)

Orthogonality (Orthogonality)

标签：CrossProduct,Product,similarity,cosine,product,Vs,vector,dot
来源： https://blog.csdn.net/u013302570/article/details/121880706