概念

高精度算法，属于处理大数字的数学计算方法。在一般的科学计算中，会经常算到小数点后几百位或者更多，当然也可能是几千亿几百亿、几千几万位的大数字。这类数字我们无法用基本类型进行存储，这就是高精度。高精度算法是用计算机对于超大数据的一种模拟加，减，乘，除，乘方，阶乘，开方等运算。对于非常庞大的数字无法在计算机中正常存储，于是，将这个数字拆开，拆成一位一位的，或者是四位四位的存储到一个数组中， 用一个数组去表示一个数字，这样这个数字就被称为是高精度数。高精度算法就是能处理高精度数各种运算的算法，但又因其特殊性，故从普通数的算法中分离，自成一家。

存储

高精度数，拆成一位一位存储。有很多位，也就是要用很多个变量，那么我们可以用一维数组存储每一位。我们可以从高位到低位存储，也可以从低位到高位存储，但不管哪一种方式，一般数组的第0位都是存储高精度数的位数，这样我们可以比较方便的知道数字从哪一位开始输出，从哪一位输出到哪一位。

大多数情况下，都是从低位到高位存储，即个位存储到数组第1位，这样可以比较方便的对齐两个高精度数的个位，也方便进位处理。

输入

因为没有基本的数字类型可以存储，所以需要以字符串的形式输入。

高精度大都可以从低位到高位存储，相反方向原理一样，这里就以从低位到高位存储为例。

不妨设数字串s长度为n，从零开始存储，那么他们将存储到数组a的第1到第n位：

最低位（个位）是s[n-1]，存储到a[1]；

十位是s[n-2]，存储到a[2]；

百位是s[n-3]，存储到a[3]；

……

最高位是s[0]，存储到a[n]。

下标之和等于n，所以s[i]存储到a[n-i]。

数字串长度存储到a[0]，即a[0] = n。

a[0] = n = strlen(s);
for(i=0; i<n; i++) a[i] = s[n-i] - 48;

输出

从高位开始输出，最高位是a[0]，最低位（个位）是a[1]，所以输出a[a[0]]...a[1]。

for(i=a[0]; i>=1; i--) printf("%d", a[i]);

加法

原理

1、个位加个位、十位加十位、百位加百位……

2、逢十进一

因为需要进位，如果最高位放在前面（数组第1位），就有可能影响进位。一般的，在进行高精度加法的时候，我们会把个、十、百、千、万……依次存储到数组的第1、2、3、4、5……位。

实现

两个高精度数a和b相加：

n = max(a[0], b[0]);
jin = 0;
for(i=1; i<=n; i++){
    c[i] = a[i] + b[i];//逐位相加
    if(c[i] > 9) jin = 1, c[i] -= 10;
    else jin = 0;//进位处理
}
if(jin) c[0] = n + 1;
else c[0] = n;//最高位处理

减法

原理

1、个位减个位、十位减十位、百位减百位……

2、减出负数，借位加十

3、输出是去掉前导零

实现

高精度数a减高精度数b：

for(i=1; i<=a[0]; i++){
    c[i] = a[i] - b[i];//逐位相减
    if(c[i] < 0) c[i] += 10, a[i+1]--;//借位处理
}
while(a[0] > 1 && c[a[0]] == 0) a[0]--;
c[0] = a[0];//前导零处理

注意：必须是绝对值大的数减去绝对值小的数。如果小减大，或者有符号，需要预先判断最终结果的正负号，再转化成大减小。

乘法

原理

     321
*    321
----------
     321
    642
+  963
----------
  103041

从这个乘法竖式可以看出，个位(1)乘个位(1)放在个位(1)，个位(1)乘十位(2)放在十位(2)，……，十位(2)乘个位(1)放在十位(2)，十位(2)乘十位(2)放在百位(3)，十位(2)乘百位(3)放在千位(4)……可得出此规律：第i位乘第j位放在第i+j-1位。最后每一位加起来即可。

实现

高精度数a乘以高精度数b：

for(i=1; i<=a[0]; i++){
    for(j=1; j<=b[0]; j++){
        c[i+j-1] += a[i] * b[j];//任意两位相乘求和
    }
}
c[0] = a[0] + b[0] - 1;//目前最高位
for(i=1; i<=c[0]; i++){
    c[i+1] += c[i] / 10;
    c[i] %= 10;//进位处理
}
while(c[i]){//最高位进位处理
    c[i+1] += c[i] / 10;
    c[i] %= 10, i++;
}
c[0] = i - 1;//最高位

 高精度乘以低精度也可以用这个方法，但其实可以更简单。

除法

高精度除以低精度

    00038
   -------
321/12345
   - 963
   -------
     2715
   - 2568
   -------
      147

 

模拟厂字除法竖式，将商从高位到个位依次求出来。高精度数从高位开始存储，方便按顺序计算商的每一位。每次“被除数”的计算，需要用到秦九韶算法。

高精度数a除以低精度数b核心代码如下：

s = 0;
for(i=1; i<=a[0]; i++){
    s = s * 10 + a[i];
    c[i] = s / b;
    s = s % b;
}

最终商是高精度数c，余数是s。

标签：总结,存储,数字,高精度,知识,十位,百位,数组
来源： https://blog.csdn.net/m0_60950850/article/details/122011797