首页 > 其他分享> > CINTA作业四：群、子群

CINTA作业四：群、子群

2021-12-11 12:59:13 作者：互联网

1.证明：

证明：由a∈G，可得： $a^{-1}$ ∈G。

对于ba = ca，两边同时右乘 $a^{-1}$ ，可得ba $a^{-1}$ =ca $a^{-1}$

所以b = c 。

同理，对于ab = ac，两边同时左乘 $a^{-1}$ ，可得 $a^{-1}$ ab = $a^{-1}$ ac

所以b = c 。

原命题得证。

2.证明：

① $g^{m}$ 是m个g相乘，即m-1次群运算，同理 $g^{n}$ 为n个g相乘，即n-1次群运算

则： $g^{m}$ $g^{n}$ 为(m+n)个g相乘，即m+n-1次群运算

所以 $g^{m}$ $g^{n}$ = $g^{m+n}$

② $(g^{m})^{n}$ 为n个 $g^{m}$ 相乘，即n-1次群运算

$(g^{m})^{n}$ = $g^{m}$ $g^{m}$ ... $g^{m}$ $g^{m}$ (n个) = $g^{m*n}$ = $g^{mn}$

③由gh= $((gh)^{-1})^{-1}$ .

得 $(gh)^{n}$ = $(((gh)^{-1})^{-1})^{n}$ = $((h^{-1}g^{-1})^{-1})^{n}$ = $(h^{-1}g^{-1})^{-n}$

若G是阿贝尔群，则满足交换律

$(gh)^{n}$ =gh*gh...*gh（n个）=ggg...g(n个)hhh...h(n个)= $g^{n}$ $h^{n}$

3.证明：

设G的阶为2n，n=1,2,3...

$\exists$ q∈G，且q≠e， $q^{2n}$ = $(q^{n})^{2}$ =e

令g=q，则原命题得证。

4.证明：

一、充分性：

$\forall$ a，b∈H，有 $b^{-1}$ ∈H，由封闭性得，a $b^{-1}$ ∈H。

二、必要性：

①：对于 $\forall$ a，b∈H， a $b^{-1}$ ∈H，令a=b，则 $a$ $a^{-1}$ ∈H，

即存在单位元e= $a$ $a^{-1}$ ∈H。

②：对于 $\forall$ a，b∈H， a $b^{-1}$ ∈H，则 $b^{-1}$ ∈H，

a $(b^{-1})^{-1}$ ∈H，即满足封闭性。

③：对于 $\forall$ a，b∈H， a $b^{-1}$ ∈H，

e∈H，a∈H，则e $a^{-1}$ = $a^{-1}$ ∈H。

即存在逆元 $a^{-1}$

④：对于 $\forall$ a，b，c，∈H，

有a，b，c∈G

由于G是群，则有(ab)c = a(bc)

即满足结合律。

5.证明：

证明：

因为 $g_{i}$ ∈G，则 $g_{0}$ $g_{1}$ ... $g_{n}$ ∈G。

( $g_{0}$ $g_{1}$ ... $g_{n}$ )( $g_{n}^{-1}$ ... $g_{1}^{-1}$ $g_{0}^{-1}$ )= $g_{0}$ $g_{0}$ ...( $g_{n}$ $g_{n}$ )... $g_{1}^{-1}$ $g_{0}^{-1}$ = $g_{0}$ e...e...e $g_{0}^{-1}$ =e.

所以 $g_{0}$ $g_{1}$ ... $g_{n}$ 的逆元是 $g_{n}^{-1}$ ... $g_{1}^{-1}$ $g_{0}^{-1}$ 。

标签：...,ab,次群,作业,证明,相乘,子群,CINTA,gh
来源： https://blog.csdn.net/LuoRiiXx/article/details/121870132