考研数学的知识点整理：1.极限
作者：互联网
差不多学习了一年，离考试也不远了，考前抽一天时间整理一下所有的知识点和题型，也就相当于复习了。
第一章：极限
极限，简单地来说就是无限地趋近一个值（但并不是真的等于这个值），而永远处在接近这个值的趋势上，永远靠近，永不停止。
从书上的定义看，如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|xn-x|<ε恒成立。 这个定义在实际中也会出题考察。
lim(x->1) x2-1/x-1 =2。 这个函数在x=1处不存在，但x->1时极限存在，并且为2。直接算当然算不了，但是可以转化为x+1，也就是2.
判定极限存在的充要条件：左右极限各自存在且相等。 在很多时候，两侧极限的计算方法是不一样的，因此左右相等是有意义的。
极限不存在：左右极限不存在/不相等，或者极限无穷大。
极限的一些性质：
1.唯一性。 如果一个数列的极限存在，那么它的极限值唯一，而且他的子串也都是这个极限值。
2.保号性。在这里先引入一个去心邻域的概念：去心领域，就是去掉了中心点，但包含其左右的一个范围。 保号性的含义，就是指自变量在趋近一个值时，肯定能找到一个去心邻域，在这个范围内的值同号。
这里放一个例题：f'(0)=1, lim(x->1) f'(x)/(x-1)3=2，求x=1？
解： 在这道题中， f'(x)/(x-1)3=2)>0.
所以，存在某个值ξ>0,使得 0<|x-1|<ξ，即在这个去心领域内时，f'(x)/(x-1)3也是大于0的。
当x在(1-ξ,1)时即左半邻域时，x-1<0,分母小于0，那么分子f'(x)<0。同样，x在右半邻域时，f'(x)>0。因此，f(x)在x=1处取到了最小值。
保号性的更深层的理解:不管是数列极限还是函数极限。假设lim(x->x0)=A. 要注意函数和极限二者的对应关系。
1）若A>0,则存在ξ>0，使得0<|x|<ξ内，f(x)>0。 符号取反亦然。 即：极限>0可推原函数>0;
2) 若存在ξ>0，使得0<|x|<ξ内，f(x)>0或≥0，则A≥0 。符号取反亦然。 即：函数>0或者≥0，可推极限≥0。
3。收敛必有界，有界不一定收敛，比如(-1)n+1有界但不收敛。
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做极限的几种常用方法：
1.洛必达法则，洛必达法则是一个比较特殊的用法。它用在分式中，洛必达法则的使用有几个规则：
1）分子和分母要同趋于0或者同趋于无穷大；
2）在这一点处分子分母都要可导；
3）求导以后，极限存在，则就是答案；极限不存在，说明不能用洛必达法则；如果上下都还是不定式，那可以考虑继续用。
注意：洛必达法则是分子分母分别求导。不是分式求导法则(u/v)'！
特别注意：洛必达法则还有一个隐藏规则：只能用在分子/分母是乘除的运算中。事实上有时候加减也能用，但是不好把握的人最好不要用。具体什么时候能用，要参考泰勒公式
2.等价无穷小的替换
无穷小的性质这里就不赘述了，记得无穷小加减/相乘/数乘也都是无穷小。 常用的等价无穷小：
x->0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ex-1~ln(1+x) 1-cosx~1/2 x2 (1+bx)a-1~abx
如果题中有感觉可以用但是不够，可以自己+1 -1凑形式。
重要极限：lim (1+x) 1/x =e。
注意，这些都是x趋于0时采用的，如果有需要，想办法代换成趋于0即可。
3.泰勒展开
4.夹逼定理
5.单调有界的数列必有极限
极限题型（不定型类）的解法思路：0/0型：洛必达，泰勒展开都行
∞/∞型：利用“抓大放小”，只看x最高阶
0/∞型：转化成上面两种就行
∞-∞型：这种情况，有分母的话就通分，没有分母就直接有理化，变成分式。
1∞型：利用lim (1+x) 1/x=e这个重要极限。
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在这里多提一句，泰勒公式真的是一个非常神奇的公式，它的本质是用一组多项式的和，去无限趋近于一个函数的某点；在现实中有很多用法，比如计算器就采用泰勒展开来计算sinx。而洛必达法则，从某种意义上来说，其实就是把分子和分母分别泰勒展开，第一次只比首项大小，首项一样大就去掉（再用洛必达）比第二项。。。如此往复直到算出结果。因此在有些加减的情况下也能算。
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在实际做题的时候有时候会做到一种迷糊的状态：上面的这些用法，都是针对不定型使用的。但如果一个极限直接就能算出来，那就直接算出来就好了。比如lim(x->0) cosx，这种根本就不用这些方法，直接就能看出来是1。考试的时候也最好不要犯迷糊。
标签：知识点,存在,法则,洛必达,lim,极限,分母,考研 来源： https://www.cnblogs.com/namezhyp/p/15662179.html