由于定点数表示的数字范围有限，当我们在数据位数不变的情况下，想增加数据的长度时，该怎么办呢？这就是浮点数要解决的问题。

阶码E反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置（数值的大小），其中阶符为正表示要把尾数的数值部分的小数点往后移，为负值表示要把小数点往前移
尾数M的数值部分的位数n反映浮点数的精度，其中数符表示正负

举个简单的例子类比一下：
1000 π 1000\pi 1000π
=3141.5926……
≈ 3.14 × 1 0 3 \approx3.14\times 10^{3} ≈3.14×103
≈ 0.314 × 1 0 4 \approx0.314\times 10^{4} ≈0.314×104
≈ 0.314159 × 1 0 4 \approx0.314159\times 10^{4} ≈0.314159×104
这里的乘号后面 1 0 x 10^{x} 10x 相当于是阶码部分，因为x均是正数，因此阶符都是0，此时x就是阶码的数值；乘号前面的3.14，0.314相当于尾数部分

浮点数的表示

定点数：
定点小数，小数点固定在第一位后面
定点整数，小数点固定在最后一位后面

浮点数：
阶码：常用补码或移码表示的定点整数
尾数：常用原码或补码表示的定点小数

浮点数的真值： N = r E × M N=r^{E}\times M N=rE×M
r 是浮点数阶码的底（隐含）通常 r=2；E称为阶码，M称为尾数。

尾数给出一个小数，阶码指明了小数点要向前/向后移动几位。

【例】阶码、尾数均用补码表示，求a，b的真值
a=0,01;1.1001
b=0,10;0.01001
【分析】a：阶码0,01对应真值+1；
尾数1.1001对应真值-0.0111；
a的真值：2¹ * (-0.0111)=-0.111（相当于小数点右移一位或者算数左移一位）

b：阶码0,10对应真值+2；
尾数0.01001对应真值+0.01001
b的真值：2² * (0.01001)=1.001（相当于算数左移两位）

浮点数的作用和基本原理

如果采用1B的存储空间存储a和b，a占8位正好；b占9位，如果将最后一位抛弃，势必降低了b的精度，此时，可采用浮点数规格化，保留浮点数精度
所以b = 2² * (0.01001） = 2¹ * (+0.1001)
这样保证了在存储空间不变的情况下，保留了浮点数的精度

浮点数规格化（重点）

规格化浮点数，规定尾数的最高位数值必须是一个有效值
左规：尾数算数左移一位（小数点右移），阶码减1，直到尾数最高位是有效位
右规：尾数算数右移一位（小数点左移），阶码加1（当浮点数运算的结果尾数出现溢出，双符号位为01或10时）

注：采用“双符号位”，当溢出发生时，可以挽救，更高的符号位是正确的符号位

浮点数的表示范围（了解）

1.用原码表示的尾数进行规格化
正数为0.1XX……X的形式，其最大值表示为0.11……1；最小值表示为0.10……0
尾数的表示范围是 1 2 ≤ M ≤ ( 1 − 2 − n ) \frac{1}{2}\leq M \leq (1-2^{-n}) 21​≤M≤(1−2−n)
负数为1.1XX……X的形式，其最大值表示为1.10……0；最小值表示为1.11……1
尾数的表示范围是 − ( 1 − 2 − n ) ≤ M ≤ − 1 2 -(1-2^{-n})\leq M \leq -\frac{1}{2} −(1−2−n)≤M≤−21​

2.用补码表示的尾数进行规格化
正数为0.1XX……X的形式，其最大值表示为0.11……1；最小值表示为0.10……0
尾数的表示范围是 1 2 ≤ M ≤ ( 1 − 2 − n ) \frac{1}{2}\leq M \leq (1-2^{-n}) 21​≤M≤(1−2−n)
负数为1.0XX……X的形式，其最大值表示为1.01……1；最小值表示为1.00……0
尾数的表示范围是 − 1 ≤ M ≤ − ( 1 2 + 2 − n ) -1\leq M \leq -(\frac{1}{2}+2^{-n}) −1≤M≤−(21​+2−n)

【例】若某浮点数的阶码、尾数用补码表示，共4+8位：
0,110;1.1110100，如何规格化？
【分析】阶码部分：+6
尾数部分：用补码表示，并且是负数，负数的补码，必须保证数值部分最高位一定是0，才能保证尾数尽可能多的表示一些精度，因为需要对尾数进行算数左移3位，低位补0，变为1.0100000，阶码减3
于是规格化后：0,011;1.0100000

注：
用原码还是补码表示，会影响规格化的规则
规则化原码尾数，最高数值位一定是1
规格化补码尾数，符号位与最高数值位一定相反

IEEE 754标准

不同之处：
① 尾 数 用 原 码 表 示 ， 隐 藏 表 示 最 高 位 1 ， 实 际 表 示 的 尾 数 是 1. M {\color{Red} 尾数用原码表示，隐藏表示最高位1，实际表示的尾数是1.M} 尾数用原码表示，隐藏表示最高位1，实际表示的尾数是1.M（用原码表示时，最高位是有效位，所以是1）
② 偏 置 值 = 2 n − 1 − 1 {\color{Red} 偏置值=2^{n-1}-1} 偏置值=2n−1−1
③ 阶 码 全 0 、 全 1 有 特 殊 用 途 {\color{Red} 阶码全0、全1有特殊用途} 阶码全0、全1有特殊用途，因此8位的阶码正常范围是-126~127

阶码用移码表示，移码=真值+偏置值，此时的偏置值= 2 n − 1 − 1 2^{n-1}-1 2n−1−1
真值 -128=-1000 0000，此时偏置值为 0111 1111
移码=-1000 0000 + 0111 1111
= 0111 1111 - 1000 0000
= 1 0111 1111 - 1000 0000 （这一步操作是给被减数加了 2 8 2^{8} 28，最终结果是不变的）
= 1111 1111

【例】短浮点数 1 000 {\color{Red}1\color{Cyan}000} 1000 0001 { \color{Cyan} 0001} 0001 1 000 {\color{Cyan}1\color{green}000} 1000 1010 {\color{green}1010} 1010 0101 {\color{green}0101} 0101 0000 {\color{green}0000} 0000 1000 {\color{green}1000} 1000 0000 {\color{green}0000} 0000

数符s	阶码E	尾数数值M
1 {\color{Red}1} 1	00000011 {\color{Cyan}00000011} 00000011	00010100101000010000000 {\color{green}00010100101000010000000} 00010100101000010000000

规格化后的短浮点数的真值为： ( − 1 ) s × 1. M × 2 E − 127 (-1)^{s}\times 1.M\times 2^{E-127} (−1)s×1.M×2E−127
【例】将十进制数-0.75转换为IEEE 754 的单精度浮点数格式表示
【分析】 ( − 0.75 ) 10 = ( − 0.11 ) 2 = ( − 1.1 ) 2 × 2 − 1 (-0.75)_{10}=(-0.11)_{2}=(-1.1)_{2}\times 2^{-1} (−0.75)10​=(−0.11)2​=(−1.1)2​×2−1
数符=1
尾数部分=.100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 （隐含最高位是1）
阶码真值= -1
单精度浮点型偏移量=127D
移码=阶码真值+偏移量=-1+111 1111 = 0111 1110（凑足8位）
（或者移码=127-1=126，对应二进制 0111 1110）
因此，最终可知

数符s	阶码E	尾数数值M
1	0111 1110	100 0000 0000 0000 0000 0000

【例】（2020年408）带符号整数用补码表示，float型数据用IEEE 754标准表示，当x机器数为C800 0000H时，x的值是（）
【分析】
第一步，先十六进制转二进制：
C800 0000H = 1100 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
第二步，确定数符、阶码和尾数：

数符s	阶码E	尾数数值M
1	100 1000 0	000 0000 0000 0000 0000 0000

第三步，逐个分析：
数符=1 --> 是个负数
尾数=.000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 （隐含最高位是1） --> 尾数真值=1.0
阶码=100 1000 0= 2 7 + 2 4 2^{7}+2^{4} 27+24=144(移码)，偏置值127D，由移码=真值+偏置值
因此阶码真值是=144-127=17

最终得出浮点数对应的真值= ( − 1.0 ) 2 × 2 17 (-1.0)_{2}\times 2^{17} (−1.0)2​×217= − 2 17 -2^{17} −217

浮点数的加减运算

作者有点懒，还没做任何整理……
有人要看嘛？

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来源： https://blog.csdn.net/vavid317/article/details/119781487