数字信号处理学习笔记[8] 相关分析
作者：互联网
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8 相关分析
8.1 相关的基本概念，相关与褶积的关系
- Q: “相关”和“褶积”的数学表达式很类似，那什么方面比较不同呢？
A: 物理意义往往不同。褶积是滤波或者“平移对称性”，相关是直观上（波形）“相似性”（两个信号没有“属性”差别） - Q: 相似和线性回归有何异同？
A: 这里的“波形相似”指放大或缩小一定倍数后形状类似。类似于线性回归。\(\alpha\)公式和线性回归中斜率相同。
（书中的\(x,y\)相当于\(x = \alpha y\)的回归。首先\(y,x\)的含义不要弄反了，另外课本正文处相比线性回归没有截距。课后题第2题那里有截距） - Q: 接上，如果我们用\(\alpha y_n +\beta\)作为\(x_n\)的近似信号，那么相关系数公式变为（），其物理直观解释是（）。
这么做之后仍有什么局限？
A: 习题处有
如果有一个太强的“直流分量”那么相似性不明显了
只有函数值变换，不能处理坐标变换 - Q: 代入\(\alpha\)公式后，误差能量，相对误差能量和相关系数有何关系？
A: \(\frac 1{N_2-N_1+1}\sum(x-\alpha y)^2=\frac 1\cdots \sum x^2-\sum (xy)^2/\sum y^2\)
\(=\frac {\sum x^2}\cdots (1-\sum(xy)^2/\sum x^2\sum y^2)=\cdots\cdot (1-\rho_{xy}(N_1,N_2)^2)\)
特别注意相关系数是\(\rho_{xy}\)的极限。 - Q: \(r_{xy}=\sum _{n=-\infty}^{+\infty}x_ny_n\)和相关系数有何联系和区别？
A: 能量有限时可以直接把“无穷”写到求和号上下。
在\(x,y\)能量确定时，\(r_{xy}\)就是“未标准化的”相关系数（没有考虑\(x,y\)本身能量大小） - Q: 互相关函数不是偶函数，因为（）。我们人为定义\(r_{xy}(\tau)\)表示\(y_n\)在延迟\(\tau\)之后和（）相似程度，即（）和（）相似程度。
A: 略
\(x_n\)
\(y_{n-\tau}\)
\(x_n\)
总结：\(x\)脚标值减去\(y\)脚标值就是\(\tau\). 所以也可以\(x_{n+m}y_{n+l}\)这样，\(m-l\)为常数，就是\(\tau\) - Q: 上面这个是“坐标变换”，和函数值做线性变换\(\alpha y+\beta\)不一样，回忆2. 我们相当于爆搜（）（这个没法直接解析做），对每个（）解析求（）。实际应用中，搜索空间可能更大，例如（）
A: \(\tau\)，\(\tau\)，\(\alpha,\beta\)
更多维，旋转，缩放等更多坐标变换。
注：实际工程中，这样就很复杂了，例如匹配二维码。相当于高维的比较复杂的优化（或说搜索）问题。而且可能整数点变成非整数点，还需要插值。 - Q: 实际利用相关拼接图片需要对比什么样的区域？
A: 举例：比如先验知道重叠10%左右，那么看一张图的右边10%，和下一张的左边10%即可。
拼接图应用：医疗，手机APP等。实际工程问题：一维？二维？图会不会太大？RGB中用哪个频道？
相关与褶积的关系
- Q: 简述相关用褶积、频谱、Z变换表示。
A: \(r_{xy}(n) = x(n) * y(-n)\)（卷积脚标中换元得）
频谱：注意\(y_{-n}\)频谱\(\bar Y(f)\)，Z变换\(Y(1/Z)\)
（注，以上针对实信号。否则需注意\(\bar y_{-n}\)频谱是\(\bar Y(f)\)） - Q: 用物理直观解释“自相关系数”和“能量”的关系。
A: “自相关系数”如果没有标准化，那本身里面就体现了“总体”能量大小。
进一步，考察“标准化”之后的相关系数，一个信号从0不断地“平移”一定周期时间后还和自己相关系数高。说明这个频率能量大。
8.2 相关函数的性质
- Q: 能量有限决定了（）时，两个信号“失去相似性。
A: 相对时移趋于无穷 - Q: 自相关函数为什么由（）决定，和（）谱无关？（从数学表达式形式上解释）
A: 振幅，相位
提示：频谱相乘出现\(X\bar X=|X|^2\) - Q: 陶布利兹形矩阵：只需记忆\(\sum_l\sum_m a_la_mr_{xx}(l-m)\)即可。也就是针对脚标差，乘以对应的相关系数。该矩阵在（）时正定。
根据定义证明正定性时，直接做求和顺序交换仅能证明非负定。为了证明正定，需要把\(\sum x_n^2>0\)条件用在（）。
结合\(\sum_{l=0}^N a_l z^l\)至多\(N\)个0点或说（）在区间（）至多（）即得“正”
A: \(\sum x_n^2>0\)，\(|X|\)不几乎处处为0（注：考察\([-1/2\Delta,1/2\Delta]\)）
\(\sum_{l=0}^N a_le^{-i2\pi l\Delta f}\)，\([-1/2\Delta,1/2\Delta]\)，N个零点 - Q: 从“对称”“0”“趋于无穷”“频谱”比较自相关和互相关
A: \(r_{xy}(\tau) = r_{yx}(-\tau)\)
由施瓦兹不等式，\(|r_{xy}(\tau)|\le \sqrt{r_{xx}(0)r_{yy}(0)}\)（\(x=y\)时显然退化）
趋于无穷：对于能量有限，当\(\tau\)趋于无穷时结果还是0
频谱仍然有\(|R|=|X||Y|\)关系，故互相关函数只包含“共有频率成分”
进一步讨论
- Q: \(r\)是自相关函数的充分必要条件\(R(f)\ge 0\)，这里要求\(r\)是实信号吗？
A: 不一定。事实上，对于一般的\(R\)，\(\sqrt R\)对应的信号不一定是实偶信号。只有\(R(f)=R(-f)\)才是特殊情况。 - 单边自相关函数*
8.3 循环相关和普通相关
- Q: \(\bar Y_m\)对应的有限离散信号是（）（注意共轭导致的“反向”），故\(R_{xy}(m)\)可以表示为（），用卷积表示\(r_{xy}(n)\)为（）
A: \(y_{N-n}\)，\(X_m\bar Y_m\)，\(x_n*y_{N-n}[N]\) - Q: 利用（周期变大为\(N\)的信号）循环相关计算普通相关：对于\(n<0\)可以（）。由此如何理解\(\tilde r_{\tilde x\tilde y}(n) = r_{xy}(n-N),N-L<n\le N-1\)？
A: 利用互相关对称性
左侧是循环相关，右侧是普通相关中\(n\)取负（且负得不是那么多）的情况。根据\(\tilde x\)是周期为\(N\)的信号画图容易看到。 - Q: 如何理解条件\(N-L\ge K\)和\(N\ge 2M-1\)？
A: 对于只求\(0\le n\le K\)的互相关，我们只需要\(n\)始终满足\(0\le n\le N-L\)就可以使得循环相关不“出去”（这个针对\(x\)和\(y\)具有不对称性）
这里\(K\)越小，需要的\(N\)当然越小。
对于\(L=M\)，\(K=M-1\)（因为对于自相关，显然\(n\ge M\)处都是0），就变成特例\(N\ge 2M-1\)
当然互相关在\(n\)很大时也都是0. 只不过课本没有特别强调。
利用FFT
8.4 多道相关
- Q: 一般用什么标准选择标准信号\(\bar x\)？结果是什么？
A: 使得（M道信号与标准信号）误差能量最小。
M道信号的算术平均。 - Q: “能量比”“叠加”“未标准化相关系数”的名称来源分别是什么？
A:
能量比：\(\frac{M道误差信号能量}{总能量}\)
叠加：把M道直接叠加所得信号的能量和上面的“能量比”表达式有密切关系。
当然，看叠加所得信号的振幅就是“叠加振幅标准”
未标准化相关系数：所有两两的（未标准化）相关系数相加。和之前两种标准也有密切联系。实际上，\(K\)等于叠加信号能量减去M道信号（各自）能量之和。这物理意义很清晰：如果相关，那么叠加起来能量“变大”很多。 - Q: 相对误差能量\(=\frac {M-1}M(1-R)\)和之前两道相关的公式有什么区别？
A: 例如：之前两道相关相对误差能量除以的是某一道的能量，此处是除以所有道能量之和。
提示：其实之前两道相关和这里的多道相关整个流程和思想都不同。比如这里没有\(\alpha\)系数待定（如果没做“规格化处理”），且先要做平均，等等。典型地，可以取两个完全一样的信号，看它们按之前两道相关的处理流程是怎么被考察的，再看现在按多道相关的处理流程是怎么被考察的，就可以看到联系和区别了。 - Q: 指定数值“标准”在实际中起到什么作用？
A: 比如反映性能优劣，作为迭代中进度的指示，作为待优化目标，作为“feature”等。
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